Faisabilité d'un Boltzmann multigroupe

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 1310 (2023) Citer cet article

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Les solveurs Boltzmann du réacteur nucléaire hérité commencent le déploiement clinique comme alternative aux codes de Monte Carlo (MC) et aux modèles semi-empiriques de Fermi-Eyges dans la planification du traitement en radio-oncologie. Les solveurs cliniques certifiés d'aujourd'hui sont limités aux faisceaux de photons. Dans cet article, ELECTR, un module de génération de sections efficaces d'électrons multigroupes à la pointe de la technologie dans NJOY, est présenté et validé par rapport aux mesures calorimétriques de Lockwood, EGS-nrc et GEANT-4 pour des faisceaux d'électrons unidirectionnels de 1 à 20 MeV. Le solveur du réacteur nucléaire DRAGON-5 est mis à jour pour accéder à la bibliothèque et résoudre l'équation de Boltzmann-Fokker-Planck (BFP). Une variété de configurations hétérogènes de fantômes de radiothérapie et de radiochirurgie ont été utilisées à des fins de validation. Les études de cas incluent un benchmark du thorax, celui d'une radiothérapie intra-opératoire typique du sein et un benchmark de type patient à forte hétérogénéité. Pour tous les faisceaux, \(100\%\) des voxels d'eau ont satisfait au critère de précision de l'American Association of Physicists in Medicine pour une erreur de dose BFP-MC inférieure à \(2\%\). Au moins, \(97,0\%\) des voxels adipeux, musculaires, osseux, pulmonaires, tumoraux et mammaires répondaient au critère \(2\%\). L'erreur relative moyenne du BFP-MC était d'environ \(0,56\%\) pour tous les voxels, faisceaux et matériaux combinés. En irradiant des dalles homogènes de \(Z=1\) (hydrogène) à \(Z=99\) (einsteinium), nous avons rapporté les performances et les défauts du mode CEPXS [US. Sandia National Lab., SAND-89-1685] dans ELECTR pour l'ensemble du tableau périodique. Pour tous les benchmarks de Lockwood, les prévisions de dose de NJOY-DRAGON se situent dans la précision des données expérimentales pour \(98\%\) de voxels.

Le système de traitement de données nucléaires NJOY est largement utilisé pour le traitement de sections efficaces ponctuelles et multigroupes de neutrons et de photons à partir de fichiers de données nucléaires évaluées (ENDF)1. La restriction actuelle aux évaluations induites par les particules neutres limite la portée de l'application du système à la conception des réacteurs à fission, à l'autorisation et à l'analyse de la sécurité, à la modélisation de la gestion des stocks, à l'analyse comparative de la sûreté-criticité, à la protection contre les rayonnements et à la gestion des déchets nucléaires2,3,4.

Le besoin. Le transport de particules chargées légères est nécessaire, entre autres, dans les dispositifs électroniques à ultra-échelle5 (par exemple, les dispositifs microélectroniques au silicium6), le contrôle du plasma de fusion basse pression7, le plasma à décharge gazeuse8, le transport de faisceaux d'accélérateurs (par exemple, les collisionneurs (e\(^-\), e\(^+\))9,10, les interactions faisceau-faisceau5, la radio-oncologie et la physique médicale11,12,13. L'utilisation de codes/modèles de transport d'électrons est déjà omniprésente dans le flux de travail de la pratique clinique quotidienne en radio-oncologie. Pour éviter la nature stochastique d'un calcul de Monte Carlo (MC) - connu pour être très précis mais coûteux en temps et en temps de calcul - les physiciens médicaux ont eu recours aux modèles dits semi-empiriques à noyau (SEM). Des algorithmes MC modifiés, par exemple, modifiant le transport d'électrons, limitant le suivi des événements à faible probabilité ou mettant en œuvre des méthodes de transport basées sur les voxels14 et ceux basés sur des techniques de réduction de la variance15 existent dans certaines routines cliniques16,17 et ne seront pas discutés ici.

Le noyau ponctuel18, le faisceau crayon19,20,21, la convolution conique effondrée22 et la convolution/superposition23,24 sont les modèles généralement déployés dans les systèmes de planification de traitement clinique (TPS). Les principales hypothèses découlent de l'utilisation de la théorie de la diffusion aux petits angles de Fermi-Eyges25,26 pour le transfert radiatif, qui stipule que (i) la diffusion multiple des particules chargées n'implique que de très petites variations dans la direction de propagation, (ii) les électrons ont un petit angle de vol, c'est-à-dire que leurs trajectoires sont contenues dans un cône, empêchant de s'éloigner des sites de production, et (iii) tous les électrons à la profondeur x ont une énergie prédéterminée E(x). Par conséquent, de telles approximations assimilent incorrectement la longueur du trajet des particules à sa profondeur, ignorent les effets de dispersion, la perte d'énergie catastrophique et la déviation à grand angle. En 1981, Hogstrom et al.27 ont proposé la première adaptation de cette théorie pour les faisceaux d'électrons (transport non couplé). En raison de la dépendance en profondeur du noyau prédéterminé, le modèle ne peut rendre compte que des hétérogénéités stratifiées28. Ce dernier est approximé par un redimensionnement des noyaux diffusants. Ce modèle de faisceau crayon a été généralisé 13 ans plus tard par Gustafsson29 et Ulmer30 pour les faisceaux de photons. Dès le départ, ces études ont fait état d'échecs considérables allant de cas d'hétérogénéités simples à des configurations complexes. Facteurs de correction et améliorations SEM - par exemple, théorie de la diffusion multiple de second ordre de Jette et Bielajew31, ingrédient de puissance d'arrêt angulaire de Storchi et Huizenga32, Bruinvis et al. modèle de straggling33, algorithme de redéfinition de Shiu et Hogstrom34, Yu et al. modèle multirayons35, Ahnesjö et al. (faisceaux de photons)21 et Knoos et al. (faisceaux d'électrons)36 corrections partielles d'hétérogénéité, Ulmer et al. la mise à l'échelle latérale37, ou les modèles construits par Tillikainen et al.38 - étaient nécessaires mais n'ont pas empêché les erreurs typiques de \(22\%\) (suite à une perturbation de densité)39 ou \(40\%\) (quasi hétérogénéités)40 de se reproduire. Hensel et al.28 expliquent que le problème est que l'hypothèse de diffusion multiple de Fermi-Eyges est connue pour être vraie en astrophysique, mais elle ne peut pas être vraie pour les tissus humains. En d'autres termes, même si les diffusions élastiques de Mott et inélastiques de Møller et Bhabha ont un pic vers l'avant, l'effet cumulatif de la diffusion multiple entraîne un changement d'angle considérable pour lequel la théorie de Fermi-Eyges n'a pas été développée. Les cliniciens sont conscients de ces limites41,42,43.

L'effort. Au cours des dernières années, deux efforts équivalents dans deux domaines différents (médical et nucléaire) ont tenté de s'attaquer aux inconvénients du noyau SEM et MC en développant des capacités de transport déterministes pour les particules chargées. L'effort nucléaire a choisi de s'appuyer sur la théorie neutronique existante, le formalisme multigroupe et les solveurs de réacteur nucléaire de Boltzmann, tandis que l'effort médical a fait le choix de repartir de zéro, en exposant la théorie et en développant des ébauches d'algorithmes maison.

Larsen44,45 l'a montré ; (i) négliger la diffusion aux grands angles conduit, systématiquement, à des erreurs importantes, (ii) les équations de Fermi-Eyges et de Fokker-Planck sont à au moins 10 ordres de grandeur de la précision du BFP. Jette46 a démontré qu'une équation de diffusion multiple gaussienne, basée sur l'équation BFP, conduit à un noyau de diffusion plus précis que celui du faisceau crayon. Larsen et al.47 ont montré, avec des moments d'ordre bas et un flux imposé gaussien, qu'une résolution numérique grossière de l'équation BFP dans une dalle d'eau infinie se traduit par des profils de dose plus proches de MC que la théorie de Fermi-Eyges. Tervo et al.48,49 ont proposé un algorithme BFP de planification inverse à éléments finis 1D, couplant le transport de photons et d'électrons dans les tissus biologiques tout en omettant le bremsstrahlung et la production de paires. Hensel et al.28 ont revendiqué une première présentation d'une équation de Boltzmann couplée complète pour la radiothérapie photonique dans les tissus hétérogènes. Toutes ces études sont soit non reproductibles, construites de toutes pièces, ignorant certaines interactions, loin du critère de précision \(2\%\)14,50, soit basées sur des coupes efficaces non évaluées. Ainsi, ils ne répondent pas aux exigences typiques de qualité, d'exhaustivité, de robustesse, de reproductibilité et d'automatisation51.

Les premiers résultats reproductibles, avec assurance qualité, ont été proposés par Gifford et al.52 et Vassiliev et al.50 suite à l'introduction du solveur Los Alamos Attila SN, respectivement, pour les benchmarks Fletcher Suit Delclos et Rogers et Mohan (2006), la prostate et les plans de traitement par faisceau de photons des tumeurs tête et cou (2008). Un accord de dose de \(3\%\) (différence relative ponctuelle) a été observé pour \(99\%\) des voxels dans les régions d'accumulation, près des hétérogénéités et à la pénombre du faisceau. En 2010, Vassiliev et al.53 ont proposé Acuros, une réécriture optimisée du code Attila à usage général, et ont montré qu'un accord de dose de \(2\%\) pour \(99,9\%\) de voxels dans la planification du traitement par photons du sein est possible. La qualification, la validation et la certification d'Acuros se sont donc développées d'année en année en radio-oncologie. En 2011, Bush et al.54 ont montré qu'Acuros réduisait les erreurs cliniques typiques de l'algorithme analytique anisotrope (AAA) \(10,2\%\) et \(17,5\%\), respectivement, dans les poumons et les faibles densités pulmonaires, à \(2,0\%\) et \(2,9\%\). En 2012, Hoffmann et al.55 ont qualifié Acuros avec des détecteurs à chambre d'ionisation pour les tissus homogènes (à moins de \(1\%\)) et hétérogènes (à moins de \(2\%\)) et ont de nouveau démontré sa supériorité sur l'algorithme clinique AAA, en particulier dans les tissus osseux et pulmonaires. De 2013 à 2022, des performances similaires ont été rapportées pour la radiothérapie modulée en intensité (IMRT), le rapidArc du carcinome du nasopharynx56, la radiothérapie corporelle stéréotaxique (SBRT)57, la planification du rapidArc pour les tumeurs pulmonaires non à petites cellules, l'arcthérapie volumétrique pulmonaire stéréotaxique et conventionnelle58, l'interférence des implants de hanche métalliques59, la planification du traitement par curiethérapie à haut débit de dose60, les plans d'arcthérapie volumétrique modulée61, la SBRT pulmonaire traitée pendant Deep Inspiration Breath Hold (DIBH)62, plans de traitement clinique des patients (p. ex., poumon/conformité 3D, poumon/IMRT, tête et cou/VMAT, col de l'utérus/IMRT et rectum/VMAT)63, radiothérapie corporelle ablative stéréotaxique64, radiothérapie corporelle stéréotaxique du carcinome hépatocellulaire et SBRT anthropomorphique de la colonne vertébrale65.

Les limites de l'état de l'art. Cinq limites sont à mentionner : (1) les études antérieures ne concernent que la radiothérapie photonique, (2) Vassiliev et al.53 mentionnent que la radiothérapie électronique n'est pas possible avec Acuros faute d'une implémentation de l'opérateur de diffusion continue Fokker-Planck, (3) les coupes efficaces sont basées sur l'US de 1989. Bibliothèque CEPXS du Sandia National Laboratory (SAN89-1685, Version 1.0)66, (4) cette dernière est un code de génération de section efficace multigroupe non évalué couplé électron-photon, le seul code de ce type, qui a eu une seule version (octobre 1989) et n'a jamais été validé pour la radiothérapie électronique et (5) CEPXS, Acuros et Attila ne sont pas disponibles sous licence open source.

La proposition. Dans cet article, nous tentons d'aborder ces problèmes. Tout d'abord, nous proposons et validons ELECTR, un module de génération de section efficace d'électrons multigroupes à la pointe de la technologie dans NJOY, qui peut fonctionner avec des données ENDF ainsi que des sections efficaces CEPXS. Une bibliothèque au format GENDF contenant des sections efficaces électroatomiques catastrophiques multigroupes, la production de cascades de relaxation, des composants de Legendre anisotropes de matrices de diffusion inélastiques élastiques et de groupe à groupe, des puissances d'arrêt douces radiatives et collisionnelles, des coefficients de transfert d'impulsion multigroupes, des sections efficaces de dépôt d'énergie et de charge, couvrant la plage [1 keV, 20 MeV] pour les éléments \(Z = 1\) (hydrogène) à \(Z = 99\) (einsteinium )—est produit par le module ELECTR. Deuxièmement, nous mettons à niveau le module de post-traitement MATXSR dans NJOY pour formater cette dernière bibliothèque en un seul ensemble de données multigroupe autonome accessible par une variété d'ordonnées discrètes héritées et de codes de réseau. Le fichier MATXS produit est ensuite récupéré par le solveur d'ordonnées discrètes Dragon-5 BFP mis à niveau67, où un schéma de différenciation des diamants d'ordre élevé (HODD) est utilisé pour la discrétisation spatiale, avec une expansion de Legendre \(P_{\ge 8}\) pour l'anisotropie de diffusion et la quadrature angulaire \(S_{64}\). Enfin, nous procédons à des validations par rapport aux mesures calorimétriques expérimentales de Lockwood68, Egs-nrc, Geant-4 sur dalles d'eau, thorax69, radiothérapie électronique Mobetron peropératoire70 et benchmarks de haute hétérogénéité41 ainsi que des dalles typiques couvrant l'ensemble du tableau périodique. Cet article se limite au cas des fonctions d'alimentation CEPXS dans ELECTR. Pour des raisons de validation, seuls les électrons sont transportés. Les photons de freinage et de fluorescence sont produits et éliminés sur le lieu de naissance.

Soit n la direction de l'ordonnée discrète de l'électron (\({\hat{\Omega }}_{n}\)), g son groupe d'énergie, \(\vec {r}\) sa position, la forme multigroupe de l'équation \(S_{N}\) BFP est alors donnée par :

\(\psi ^e\) désigne le flux d'électrons, \(\Sigma _t\) la section efficace totale, \(L^{\text {B}}\) l'opérateur de Boltzmann, \(L^{\text {FP}}\) l'opérateur Fokker–Planck et \(Q^{e,\text {ext.}}\) la source externe d'électrons. Toutes ces quantités sont discrétisées sur l'espace des phases \({{\mathscr {D}}}\). Selon la classification de Fano [\({1}\,{\textrm{keV}}\), \({100}{\textrm{GeV}}\)]71, les interactions considérées sont les cascades de bremsstrahlung (b), de collision inélastique/ionisation (c), de collision élastique (e) Auger, Coster–Kronig et super Coster–Kroning (a). Bien que des cascades de fluorescence soient implémentées dans ELECTR, nous limitons ici notre étude au transport d'électrons pur. Le flux d'électrons satisfait la condition de périodicité. Son développement en harmoniques sphériques (\(R_{l}^{m}\)) s'écrit :

où L désigne l'ordre de Legendre. Les moments de flux \(\psi _{l,g}^m(\vec {r})\) peuvent être obtenus en intégrant Eq. 2 sur toutes les directions d'incidence et en normalisant avec le conjugué complexe \(R_{l}^{m^*}\). \(L^{\text {B}}\) décrit le taux de collisions catastrophiques. \(L^{\text {B}}\) a un noyau invariant en rotation, c'est-à-dire que ses fonctions propres sont les harmoniques sphériques \(R_{l}^{m}\) et les valeurs propres associées sont les coefficients de section efficace de diffusion de Legendre, \(\Sigma _{s,l}^x\). x désigne l'interaction électroatomique, c'est-à-dire \(x\in \{a,b,c,e\}\). En utilisant l'éq. 2, en décomposant les sections efficaces de diffusion en polynômes de Legendre, puis en utilisant le théorème d'addition de Legendre et enfin en exploitant l'orthogonalité des harmoniques \(R_{l}^{m}\), l'opérateur de Boltzmann s'écrit :

L'opérateur \(L^{\text {FP}}_{g,n}\) est obtenu par un développement polynomial de Taylor de l'opérateur \(L^{\text {B}}_{g,n}\) de Boltzmann autour d'une faible perte d'énergie et d'une diffusion aux petits angles72. En considérant uniquement le développement de Taylor du premier ordre, \(L^{\text {FP}}_{g,n}\) peut être écrit comme la somme du ralentissement continu (\(L^{\text {FP}_1}_{g}\)) et de l'opérateur de diffusion continue (\(L^{\text {FP}_2}_{g,n}\)).

\(\beta _{g}\) et \(\alpha _{g}\) désignent respectivement la puissance d'arrêt restreinte et le transfert d'impulsion restreint. La restriction fait référence aux collisions douces. Ici, la source considérée est monoénergétique et unidirectionnelle. Si \(Q_e(\vec {r})\) est l'intensité de la source et \({{\mathscr {D}}}_{Q}\) son domaine spatial :

Le système Éqs. 1 et 5 est considéré comme complet après application des conditions aux limites.

Le formalisme neutronique73,74,75,76 est utilisé pour définir des matrices de transfert de coefficients de Legendre multigroupes électroatomiques (\(\Sigma _{l}^{x}\)) et des sections efficaces totales multigroupes (\(\Sigma _{g}^t\)). Une quadrature de Gauss-Lobatto est utilisée pour évaluer toutes les intégrales dans ELECTR. Les nœuds et les poids sont fournis jusqu'au 10ème ordre. Pour une interaction donnée, x, les sections efficaces microscopiques catastrophiques sont données par :

où g et \(g'\) désignent respectivement les groupes d'énergie incidente et de transfert. \(\phi _\ell\) est une composante de Legendre de la conjecture du flux d'électrons. Pour les interactions collisionnelles et radiatives, un événement catastrophique est supposé être celui dans lequel la diffusion vers le bas se produit dans des groupes d'énergie non adjacents. \({{\mathscr {F}}}(E)\) est un concept unificateur de la fonction dite d'alimentation. Ce concept a été introduit par MacFarlane et al.77,78 dans les modules NJOY GROUPR et GAMINR pour les sections efficaces de production de neutrons et de photons et est adapté ici pour les sections efficaces de production d'électrons. Il change seul pour différents types de données. Pour les matrices, \({\mathscr {F}}_{lg'}^{x,0}(E_g)\) est le \({\ell }\)ème moment de Legendre de la probabilité normalisée de diffusion dans le groupe d'énergie secondaire \(g'\) à partir de l'énergie initiale \(E_g\). Pour les vecteurs, \({{\mathscr {F}}}^{x,0}(E_g)\) est l'interaction de section transversale totale du même groupe initial \(E_g\). La forme générale du mème moment de la \({\ell }\)ème fonction d'alimentation groupe à groupe d'ordre de Legendre (MeV\(^{m}\) \(\cdot\)barns) est donnée par :

où \({\hat{\Omega }}\) et \({\hat{\Omega }}'\) représentent respectivement les directions des particules incidentes et diffusées. \(P_l\) est le polynôme de Legendre. \(I_{g'}^{\textrm{x}}\) est le domaine de transfert d'électrons pour l'interaction x. La section efficace de diffusion différentielle (DSC) est donnée par :

\({{\mathscr {P}}}_x\) est le noyau de distribution d'énergie différentielle microscopique, tandis que \({{\mathscr {D}}}_x\) fait référence au noyau de distribution angulaire différentielle microscopique (les deux pour l'interaction x).

Fonction d'alimentation par ionisation. Deux électrons émergent de chaque kième ionisation de la sous-couche atomique par un électron incident d'énergie \(E_g\) : l'électron diffusé et le rayon delta (aussi appelé électron de recul). Par convention, la particule avec la plus faible énergie est identifiée comme le rayon delta, et celle avec la plus haute énergie est l'électron diffusé principal. La fonction d'alimentation d'ionisation totale pour le groupe \(g'\) est alors la somme sur toutes les sous-couches du mème moment du \({\ell }\)ème ordre de Legendre pour le transfert d'électron primaire vers le groupe \(g'\) (\({{\mathscr {F}}}^{k,ee,m}_{\ell g'}(E_g)\)) et le mème moment du \({\ell }\)ème ordre de Legendre pour la production et le transfert de rayons delta au groupe \(g'\) (\({\mathscr {F}}^{k,e\delta ,m}_{\ell g'}(E_g)\)), tous commençant par l'énergie incidente \(E_g\) impactant la kième sous-couche :

En remplaçant l'Eq. 7 en 9, les questions deviennent alors (i) comment procède ELECTR pour les distributions \({\mathscr {P}}_{k,ee/e\delta }\) et \({{\mathscr {D}}}_{k,ee/e\delta }\) (Eq. 8) ; et (ii) quels sont les domaines de transfert \(I^{k,ee}_{g'}\) et \(I^{k,e\delta }_{g'}\) (Eq. 7) pour les électrons diffusés et delta. Cela dépend du mode de fonctionnement, c'est-à-dire s'il s'agit d'un mode de fonction d'alimentation ENDF ou CEPXS. Ici, le "mode" d'opération ne doit pas être confondu avec le "format" de données. Dans les deux cas, l'énergie et l'angle de diffusion des électrons primaires et secondaires sont déduits des lois de conservation de la cinématique de collision. Dans les deux cas, on suppose qu'aucune énergie cinétique n'est transférée à l'atome résiduel. Pour le mode ENDF, une cinématique de collision à trois corps est utilisée, à savoir : la particule incidente, la secondaire émise et la sous-couche impliquée. Les distributions \({{\mathscr {P}}}_{k,e\delta }\) sont toutes fournies dans l'évaluation ENDF sous la forme MF=26, MT=534–572 pour tous les matériaux. Les valeurs MF et MT font partie du format ENDF-6 pour les données nucléaires évaluées. La valeur MF, allant de 1 à 99, code la classe d'informations (par exemple, MF=23 : section efficace d'interaction, MF=26 : distribution angulaire). La valeur MT, allant de 1 à 999, code le type d'interaction (par exemple, MT=102 : capture de neutrons, MT=527 : bremsstrahlung d'électrons). \({{\mathscr {D}}}_{k,ee}\) et \({{\mathscr {D}}}_{k,e\delta }\) sont toutes deux des distributions delta de Dirac autour du cosinus de l'angle de diffusion de la particule émise. L'énergie de liaison et la section efficace totale d'ionisation de la sous-couche (\(\sigma _k(E)\) dans l'équation 8) sont respectivement fournies dans MF = 28, MT = 534–572 et MF = 23, MT = 534–572. Les domaines de transfert pour l'électron primaire et secondaire sont donnés par :

où \(E_{\text {cut}}\) est un seuil limite d'intégration choisi pour éviter la divergence des fonctions d'alimentation pour les collisions catastrophiques. E/2 est la plus faible énergie cinétique que peut avoir l'électron diffusé principal. Pour le mode CEPXS, l'ionisation se fait sur un électron libre et il n'y a donc pas de condition de seuil ni de couche ou sous-couche atomique impliquée. Pour les électrons primaires comme secondaires, la DSC (Eq. 8) est celle de Møller, pour laquelle les distributions angulaires restent des distributions de Dirac autour du cosinus des angles de diffusion obtenus, dans ce cas, par une cinématique à deux corps79. Contrairement aux codes MC à histoire condensée, les modèles de dispersion de perte d'énergie ne sont pas nécessaires dans ELECTR puisque les distributions différentielles \({\mathscr {P}}_{k,e\delta }\) tiennent déjà compte de cet effet.

Fonctions d'alimentation Bremsstrahlung. Un électron et un photon émanent de cette interaction. Que ce soit pour le mode ENDF ou CEPXS, aucune déviation angulaire n'est autorisée pour l'électron bremsstrahlung. \({{\mathscr {D}}}_{b}\) dans l'équation. 8 est donc une distribution delta de Dirac autour de \({\hat{\Omega }}\cdot {\hat{\Omega }}'=1\). Le photon, pour les modes ENDF et CEPXS, est émis selon une distribution angulaire de Sommerfeld80. Les énergies des deux particules sont obtenues par la balance de conservation. Éq. 7 et 8 peuvent être simplifiés, dans ce cas, comme suit :

\(E_{\text {min}}\) est la limite haute fréquence de la divergence de bremsstrahlung. Elle est fixée à 1 keV pour les deux modes. \(E_{\text {cut}}\) a la même définition que dans Eq. 10. Pour le mode ENDF, \({{\mathscr {P}}}_b\) et \(\sigma _b\) dans Eq. 11 sont interpolés, respectivement, à partir de MF=26, MT=527 et MF=23, MT=527, en tenant compte de la production de bremsstrahlung dans les champs électriques du noyau et de Coulomb. Pour le mode CEPXS, la distribution est implémentée analytiquement selon l'assemblage DSC de Koch et Motz basé sur l'approximation de Born relativiste avec correction de Coulomb81. Les paramètres empiriques, par exemple les corrections d'Elwert et les facteurs de dépistage, sont extraits de la base de données CEPXS Tape966. La DSC de Koch et Motz diverge également lorsque l'énergie du photon se rapproche de celle de l'électron incident82. Le même domaine \(I_{g'}^b\) introduit dans l'équation. 11 est également utilisé dans ce mode. La production de Bremsstrahlung à partir de l'interaction avec le champ des électrons atomiques est prise en compte en modifiant le facteur de Koch et Motz \(Z^2\) par \(Z(Z+1)\).

Fonction d'alimentation élastique L'électron diffusé par le noyau est dévié sans changement d'énergie (\({\mathscr {P}}_e=\delta _{gg'}\)). Les équations 7 et 8 sont alors simplifiées comme suit :

Pour le mode ENDF, \(\sigma _{\textrm{e}}(E_g)\) est interpolé à partir de MF=23, MT=525. Pour une grande diffusion angulaire (\(\mu \in [-1.0, 0.999999]\)), la distribution \(D_{\textrm{e}}\) est interpolée à partir de MF=26, MT=52583. Pour la diffusion vers l'avant (\(\mu \in [0.999999,1.0]\)), le Coulomb DSC84,85 analytique de Seltzer est implémenté. D'après la classification EEDL de Cullen83, la diffusion élastique est considérée comme importante ou à pic vers l'avant. Pour tous les atomes, les distributions angulaires ENDF sont fournies en dessous et au-dessus de \({256}\,{\textrm{keV}}\). En mode CEPXS, le Mott DSC avec écran Molière86 est utilisé pour les énergies relativistes (\(E_g>{256}\,{\textrm{keV}}\)), tandis qu'un Riley DSC87 est utilisé pour les énergies plus faibles. Pour les distributions de Mott et de Riley, et au lieu d'évaluer les moments de Legendre dans l'Eq. 12 avec quadratures, le mode CEPXS utilise l'approche semi-analytique de Berger88 basée sur la distribution de Goudsmit–Saunderson et les fonctions de Spencer89. Tous les paramètres empiriques sont extraits de la base de données CEPXS66. L'étape finale dans les deux modes consiste à modifier le lème ordre de Legendre de la fonction d'alimentation élastique par une correction de transport étendue, similaire à celle proposée par Bell pour les neutrons90 en physique des réacteurs nucléaires. La fonction d'alimentation élastique intra-groupe corrigée du transport est donnée par :

où L est l'ordre de Legendre maximal. Comme l'a montré Morel pour les électrons91, une telle approximation rend le noyau de diffusion élastique à pic vers l'avant compatible avec l'expansion de Legendre d'ordre inférieur et, potentiellement, un remplacement pour \(L^{\text {FP}_2}\) dans l'équation. 4.

Cascade de relaxation Auger. Dans les deux modes, on suppose que les électrons Auger sont émis de manière isotrope. Soit j la ligne de transition, \(\eta _{kj}^e\) son efficacité de relaxation (c'est-à-dire que la \(j\)ème transition produit un électron Auger après la kème ionisation par impact de la couche ou de la sous-couche), le \(m\)ème moment du \(l\)ème ordre de Legendre de la fonction d'alimentation de production d'Auger est donné par :

Les fonctions d'alimentation de production Auger d'ordre supérieur sont identiques à zéro. \(g_j\) est le groupe d'électrons qui contient la \(j\)ième énergie Auger émise, tandis que \(e_{kj}^e\) fait référence à l'énergie électronique Auger, Coster-Kronig ou super Coster-Kronig réelle. \(N_{\text {tr}}\) est le nombre de transitions atomiques possibles. Pour le mode ENDF, les probabilités de transition et les spectres de particules émises sont tous deux interpolés à partir de MF = 28, MT = 534–572, qui décrivent l'ionisation de la sous-couche pour les coques K1 à O5. Pour le mode CEPXS, seules les coques K, L1, L2, L3 et M sont impliquées dans les cascades de relaxation, ce qui se traduit par \(N_{\text {tr}}=28\) transitions différentes après un événement d'impact. De plus, pour ce mode, \(e_{kj}^e\) est exprimé en termes d'énergie de groupe médiane plutôt qu'en termes d'énergie de rayonnement linéaire. Les énergies de liaison et les paramètres de probabilité sont stockés dans des grandeurs de relaxation Tape966. Pour les deux modes, l'algorithme de relaxation ne contribue pas à la vitesse de réaction totale.

Coupes transversales macroscopiques totales. Pour toutes les interactions, la section efficace catastrophique totale peut être obtenue en additionnant la fonction d'alimentation de groupe à groupe (Eq. 7) sur tous les angles d'incidence :

La limite supérieure de \(I_{g'}^{x}\) (Eqs. 15 et 8) est fixée de manière à ce que l'énergie seuil soit choisie arbitrairement à l'interface \(E_{g-1}\) entre les collisions douces et catastrophiques. Sa limite inférieure est l'énergie la plus basse que l'électron diffusé pourrait avoir (par exemple, E/2 pour la diffusion de Møller).

Les puissances d'arrêt totales (MeV\(\cdot\)barns) sont converties au format ENDF-6 à partir de l'évaluation de Berger92. ELECTR interpole les puissances d'arrêt totales collisionnelles (\({{\mathscr {S}}}^c_g\)) et radiatives (\({{\mathscr {S}}}^b_g\)) à partir des sections converties MF = 23, MT = 507 et MF = 23, MT = 508, respectivement. Puisque Bethe \({{\mathscr {S}}}^c_g\) montre des imperfections en dessous de \({10}\,{\textrm{keV}}\), en raison de la négligence des déviations du plasmon, des électrons des sous-couches internes et des électrons de conduction93, ELECTR corrige \({{\mathscr {S}}}^c_g\) en dessous de \({10}\,{\textrm{keV}}\) en utilisant Extrapolation de la loi de puissance de Lorence66. Les puissances d'arrêt catastrophiques, \({{\mathscr {M}}}^c_g\) et \({{\mathscr {M}}}^b_g\), sont prises comme le premier moment de la section efficace totale catastrophique. Avant d'être moyennées, les puissances d'arrêt restreintes sont évaluées à toutes les limites de groupe sauf la dernière.

où, pour \({{\mathscr {M}}}_g\), nous avons suivi les recommandations de l'état de l'art en intégrant les DSC de Møller (dans l'équation 16) et de Koch et Motz (dans l'équation 17). Les limites des intégrales sont identiques aux précédentes, c'est-à-dire une limite inférieure de non-divergence et une limite supérieure d'interface soft-catastrophique. La puissance d'arrêt totale restreinte (Eq. 4) est la somme des Eqs. 16 et 17. Dans cette étude, le manque de puissances d'arrêt inférieures à \({1}\,{\textrm{keV}}\) impose une coupure de transport à \({1}\,{\textrm{keV}}\). Ce seuil est conforme aux recommandations faites par Salvat à Cullen pour les données EPICS-201783,94,95. Il est également conforme aux limites de coupure par défaut de Penelope96, Egsnrc97 et Fluka98.

La section efficace de dépôt d'énergie (MeV\(\cdot\)barns) représente l'énergie déposée dans chaque interaction électron-matière. Il peut prendre soit une valeur positive (dépôt local d'énergie), soit une valeur négative (élimination locale de l'énergie). L'énergie transportée avec l'électron diffusé ou l'électron Auger, Coster – Kronig ou super Coster – Kronig émis sont des exemples typiques de sections efficaces de dépôt d'énergie négative. Cette quantité est centrale pour une évaluation déterministe de la dose lors de la résolution de l'équation BFP. Trois phénomènes y contribuent : collision inélastique, bremsstrahlung et cascades Auger. Dans les deux premiers cas, il faut additionner les contributions des collisions douces et catastrophiques. Les sections efficaces de dépôt d'énergie de collision inélastique et de bremsstrahlung sont données par

Le dépôt d'énergie de relaxation est simplement le premier moment négatif de la fonction d'alimentation de production Auger (Eq. 14).

Les sections efficaces de dépôt de charge tiennent compte du calcul d'un seul électron, c'est-à-dire de son dépôt et de son élimination, du site d'interaction. Ils sont donc obtenus de la même manière que pour les Eqs. 18 à 20 dépôts, sauf avec des moments nuls des fonctions d'alimentation. Les fonctions d'alimentation de dépôt de charges sont, par définition, associées à des interactions d'absorption non nulles, et sont données par :

Les concepts \({{\mathscr {E}}}_{g'}^{x}\) et \({{\mathscr {C}}}_{g'}^{x}\) ont été introduits par Lorence et al.66, utilisés par Acuros pour la distribution de dose intra-patient et la quantification des dommages53 et sont généralisés ici pour le module ELECTR.

La dose déposée est calculée dans le solveur Dragon-5. Deux quantités sont nécessaires : (1) la distribution de flux multigroupe (\(\Phi _g\)) obtenue dans Dragon-5 après avoir résolu l'Eq. 1 et intégrant dans toutes les directions ; et (2) les sections efficaces de dépôt d'énergie fournies par ELECTR (Eqs. 18–20). Soit T le temps d'irradiation et \(\rho\) la densité de voxel, la distribution de dose totale (en Gy) est donnée par :

où \(E_g\) fait référence à l'énergie médiane pour le groupe g et \(\langle E \rangle _g\) à l'énergie moyenne pondérée par le flux pour le groupe g. Éq. 24 montre trois composants : (1) dépôt d'énergie catastrophique ; (2) ralentissement continu (\(\beta _g \Phi _g\)) et 3) dépôt d'énergie sous le seuil (\(\beta _N \Phi _N\)). Si un électron atteint une énergie inférieure à \({1}\,{\textrm{keV}}\), il s'arrête et son énergie se dépose localement. Comme expliqué par Morel et al.99, en manipulant l'Eq. 24 et en utilisant les Éqs. 18–20, la dose déposée est simplifiée comme suit :

Un fichier pointwise-ENDF (PENDF), qui contient des sections efficaces d'électrons sur une grille d'énergie syndiquée et linéarisée, est d'abord généré à l'aide du module NJOY RECONR. Une représentation simplifiée du cœur de l'algorithme ELECTR est présentée dans l'algorithme 1. ELECTR lit d'abord l'entrée de l'utilisateur. Le matériel désiré (MAT) se trouve alors sur l'entrée PENDF et arrête l'alimentation ESTOP des bandes. Les pouvoirs d'arrêt ne sont pas fournis dans les données EPICS-2017. Un module CONVER dans NJOY a été développé pour convertir les puissances d'arrêt totales de CEPXS (bande 9) au format ENDF-6 lisible par ELECTR. Pour chaque sous-couche d'atome, le sous-programme erelax stocke l'énergie de liaison, le type de transition (radiative ou non), son efficacité et l'énergie des particules émises. Les groupes de destination Fluorescences, Augers, Coster–Kronig et super Coster–Kronig sont ensuite fixés conformément à la structure du groupe d'utilisateurs.

Pour chaque processus d'interaction, la logique du panneau du module NJOY GROUPR est adaptée aux sections efficaces catastrophiques microscopiques moyennes (Eq. 6). Puisque chaque intégrande dans Eq. 6 a ses propres caractéristiques, les premiers appels et opérations visent à unifier la grille d'intégration et les schémas de quadrature et à détecter les discontinuités. Le sous-programme etsig est appelé pour interpoler PENDF \(\sigma _x\) à l'énergie d'incidence \(E_g\) et renvoie l'énergie de grille suivante. Les sous-programmes etflx et eetff effectuent des opérations similaires pour les fonctions de flux et d'alimentation d'électrons. Le sous-programme eetsed est appelé à la fois dans les noyaux eetff et epanel. Dans le premier appel, le stockage de travail est alloué et toutes les sous-sections ENDF sont lues. Dans le deuxième appel, les noyaux de distribution angulaire et d'énergie (\({{\mathscr {P}}}_x\) et \({{\mathscr {D}}}_x\) dans l'équation 8) sont interpolés à l'aide de la technique d'interpolation de base unitaire. Une grille d'union est ensuite générée pour les trois intégrandes \(\sigma _x\), \(\phi _x\) et \({{\mathscr {F}}}^x\). L'algorithme d'intégration est équivalent à l'algorithme adaptatif hérité de Minx100.

Les matrices de transfert catastrophique de groupe à groupe sont calculées pour tous les groupes d'énergie secondaire et tous les ordres de Legendre simultanément. Une fois toutes les réactions traitées pour cet atome, une passe spéciale est appelée pour calculer et stocker les sections efficaces totales catastrophiques, les sections efficaces totales d'énergie et de dépôt de charge, ainsi que les puissances d'arrêt restreintes totales. Le module de post-traitement MATXSR mis à niveau par NJOY formate la bibliothèque GENDF générée dans un seul ensemble de données multigroupe autonome accessible par une variété d'ordonnées discrètes héritées et de codes de réseau. La bibliothèque MATXS est utilisée conjointement avec le solveur Dragon-5 BFP67. Notre schéma de calcul déterministe se déroule comme suit. En fonction de la densité et de la composition du mélange, les sections efficaces microscopiques sont respectivement extraites, préparées et converties en macroscopiques par les modules \(\texttt {LIB:}\) et \(\texttt {MAC:}\). L'auto-polarisation moyenne réduit la puissance d'arrêt en cas de collision. Ce dernier apparaît à la fois dans la puissance d'arrêt restreinte (Eq. 16) et dans la section efficace de dépôt d'énergie (Eq. 18). Une correction de l'effet de densité de Sternheimer101,102 est implémentée et appliquée dans Dragon-5 sur les deux grandeurs (STERN 1). Les mélanges de régions avec des conditions aux limites du vide sont définis par le module GEO:. Les lignes d'intégration d'ordonnées discrètes, les pointeurs d'identification de région et toutes les informations de suivi sont générés par le module SNT:. Un High-Order Diamond Differencing (HODD) est utilisé pour la discrétisation spatiale avec un ordre spatial de Legendre linéaire103. Un critère de convergence de \(1\times 10^{-5}\) a été imposé aux itérations internes du flux. Le module PSOUR: est appelé pour calculer l'Eq. 1 terme source de droite. Puisque nous avons limité notre étude au transport d'électrons pur, PSOUR: ne calculera pas les sources de photons de fluorescence et de rayonnement de freinage correspondantes. Le module ASM : assemblage récupère les longueurs de suivi et les numéros de matériel du suivi séquentiel précédent et calcule les matrices système dépendantes du groupe BFP. L'équation multigroupe BFP linéaire est finalement résolue par le module FLU:. Le flux d'électrons multigroupes et la section efficace de dépôt d'énergie macroscopique sont utilisés pour calculer les distributions spatiales de dose par le module HEAT:.

Géométrie des repères : (a) repère de l'eau ; (b) repère thoracique ; (c) repère chirurgical peropératoire et (d) repère de haute hétérogénéité. Les compositions des matériaux sont celles du NIST. La source d'électrons est monoénergétique et unidirectionnelle. Les dimensions latérales et les dimensions de la source sont fixées à la portée du faisceau incident. Le pourcentage d'épaisseur des matériaux est alors déduit de ces dimensions. Les dimensions longitudinales sont infinies.

Nous proposons une validation de la chaîne NJOY-Dragon avec un ensemble de benchmarks de complexité croissante. De plus, une augmentation progressive de l'énergie du faisceau est considérée comme défiant l'anisotropie de Legendre, l'ordre \(S_{N}\), la correction de transport déterministe et le nombre de groupes d'énergie. Dans la catégorie des repères d'hétérogénéité nulle à moyenne, les Fig. 1a–c illustrent les études de cas à considérer, où un faisceau d'électrons unidirectionnel irradie une dalle d'eau (W) homogène, un repère de thorax (T) (eau [\(13\%\)], os [\(7\%\)], poumon [\(22\%\)] et eau [\(58\%\)]) et un repère de radiothérapie électronique peropératoire (IORT) du sein (tumeur [\(40\%\)], Al [\(40\%\)], acier [\(15\%\)] et tissu [\(5\%\)]). Les dimensions latérales des repères sont fixées à la portée du faisceau incident. Le pourcentage d'épaisseur des matériaux est alors déduit de ces dimensions. Les dimensions longitudinales de Géant-4 sont infinies. L'équation BFP dans Dragon-5 est résolue en 1D. Cette stratégie permet d'étudier les performances nettes de la bibliothèque multigroupe sur le profil de dose en profondeur sans qu'il y ait accumulation d'erreurs numériques liées à la résolution de l'Eq. 1 en 2D et 3D. On évite ainsi les effets de rayons, une discrétisation angulaire exorbitante du noyau de transport et les conséquences négatives de la haute dimensionnalité des matrices de diffusion de Legendre. L'utilisation de faisceaux unidirectionnels augmente la complexité de calcul ainsi que le temps CPU pour deux raisons. La première est que des interactions plus ciblées par unité de longueur sont imposées.

Courbes de dose en profondeur de NJOY-Dragon-5 (lignes pleines) par rapport à Geant-4 (cercles) pour 1 à \({20}\,{\textrm{MeV}}\) faisceaux d'électrons unidirectionnels incidents sur : (a) référence de l'eau ; (b) repère thoracique ; (c) IORT-benchmark et (d) benchmark à forte hétérogénéité. L'insertion montre l'erreur relative de Dragon-5 par rapport à Geant-4. La normalisation de toute erreur relative présentée est faite par rapport à la dose maximale observée pour le faisceau incident. Les convergences de Monte Carlo sont obtenues pour un écart-type moyen de \(0,2\%\).

La seconde est que les effets de contrepoids des erreurs de dose aux interfaces et à la montée pour les incidences isotropes sont évités. Le W-benchmark est une étude de cas rudimentaire, qui reste d'intérêt clinique à la fois pour la vérification quotidienne de l'étalonnage et la planification du traitement. Le T-benchmark introduit un premier niveau de complexité avec des hétérogénéités fines à haute et basse densité. Ce dernier fait ressortir les effets d'interface. Le benchmark IORT introduit un deuxième niveau de complexité intra-patient combinant des hétérogénéités internes (tissus) et externes (instrumentales). Les hétérogénéités Z élevées mettent en évidence l'effet de blindage avant un OAR typique. Les énergies des faisceaux incidents varient de 1 à \({20}\,{\textrm{MeV}}\), couvrant tout le spectre énergétique des accélérateurs de recherche clinique et médicale104. Cela couvre également l'ensemble des spectres des faisceaux cliniques de radiothérapie électronique et de radiochirurgie. Bien que les traitements par faisceau d'électrons ne représentent que 10 à 15 % de la charge de travail quotidienne dans les pratiques cliniques14 et soient en constante diminution avec le développement de l'IMRT105, le développement de capacités de transport d'électrons purs reste l'étape préliminaire avant le transport entièrement couplé [\(\gamma ,\text {e}^-,\text {e}^+\)] pour les traitements par faisceau de photons.

Courbes de dose en profondeur de Njoy-Dragon-5 (lignes pleines) comparées à Geant-4 [G4EmLivermore (cercles)] pour les faisceaux d'électrons unidirectionnels incidents autour de la dalle du T-bone. Les dalles illustrées comprennent de gauche à droite : l'eau, les os et les tissus pulmonaires. Les dimensions sont fixées à la portée du faisceau incident. Les convergences MC sont obtenues pour un écart-type moyen de \(0,2\%\).

Ici, nos objectifs sont de : (1) démontrer la précision du module ELECTR, et (2) mettre en évidence, le cas échéant, les limites des fonctions d'alimentation CEPXS. En conséquence immédiate, la réduction du temps CPU n'est pas d'intérêt dans cette étude. Pour cette raison, d'autres optimisations des paramètres déterministes (\(N_{g},P_l,S_N,{{\mathscr {D}}}_r\)) ne sont pas abordées ici, où \({{\mathscr {D}}}_r\) fait référence à la discrétisation du domaine spatial. Des paramètres conservateurs sont sélectionnés pour éliminer les biais déterministes lors de l'évaluation de la précision du module ELECTR. Tous les schémas de calcul reposaient donc sur les groupes \(N_g=300\), l'ordre \(S_{48}\) et les éléments \({{\mathscr {D}}}_r\ge 500\). L'anisotropie de Legendre est fixée à \(P_9\) pour 1 à \({6}\,{\textrm{MeV}}\), \(P_{10}\) pour 7 à \({9}\,{\textrm{MeV}}\), \(P_{11}\) pour 10 à \({14}\,{\textrm{MeV}}\) et \(P_{12}\) pour 15 à \( {20}\,{\textrm{MeV}}\) faisceaux d'électrons. Des calculs de convergence ont été effectués pour appuyer ces choix. Seuls les électrons sont transportés. Les faisceaux incidents sont supposés propres sans aucune contamination.

Pour le schéma de référence Géant-4,\(15\fois 10^{6}\) les événements primaires sont pris en compte pour une incertitude statistique de \(0,2\%\) (ou mieux) dans chaque matériau. Sauf indication contraire, nous considérons le constructeur physique G4EmLivermore basé sur les données EPICS (EADL94, EEDL83 et EPDL95). Pour être cohérent avec Dragon-5, la coupure de transport et le seuil de production secondaire sont tous deux fixés à \({1}\,{\textrm{keV}}\). L'identité de chaque particule secondaire est vérifiée à chaque étape de la piste. Les photons de fluorescence et de freinage sont ainsi éliminés au point de naissance. La figure 2a montre les courbes de dose en profondeur de Dragon-5 par rapport à Geant-4 pour la référence W (Fig. 1a). Plus l'énergie du faisceau augmente, plus l'accumulation se propage et les exigences de Legendre sont donc plus élevées. Nous observons que l'inflexion d'accumulation dicte l'exigence d'ordre \(P_l\). Cela peut s'expliquer par l'anisotropie croissante de Mott et Møller avec l'énergie du faisceau. L'insert montre la déviation relative du BFP par rapport au schéma MC. Ceci a été obtenu, en post-traitement, suite à une unification de grille Hermite cubique par morceaux des détecteurs de dose Geant-4 et Dragon-5. L'erreur moyenne du BFP-MC (en valeur absolue) est de 0,43\(\%\), 0,58\(\%\), 0,52\(\%\) et 0,53\(\%\), respectivement, à 1, 9, 15 et 20 MeV. Cette moyenne est sur tout le domaine spatial. Le tableau 1 montre le pourcentage de voxels satisfaisant le critère \(2\%\). Pour tous les faisceaux examinés, 100\(\%\) des voxels d'eau satisfont à ce critère. Cet accord est réduit à 85\(\%\) pour un critère d'écart BFP-MC de 1\(\%\). La figure 2b montre les courbes de dose en profondeur Dragon-5 vs Geant-4 pour le T-benchmark (Fig. 1b). L'augmentation de l'anisotropie de Legendre avec l'énergie est vraie pour tous les repères. À \({9}\,{\textrm{MeV}}\), l'erreur BFP-MC moyenne est de 0,76\(\%\), 0,53\(\%\), 0,68\(\%\) et 0,50\(\%\), respectivement, dans le premier bloc d'eau, les os, les poumons et le dernier bloc d'eau. Pour les mêmes matériaux, ces écarts sont de l'ordre de 0,62\(\%\) (0,62\(\%\)), 0,93\(\%\) (0,80\(\%\)), 0,48\(\%\) (0,40\(\%\)) et 0,57\(\%\) (0,62\(\%\)) pour le \({15}\,{\textrm{ MeV}}\) (\({20}\,{\textrm{MeV}}\)) faisceau. D'après le tableau 1, 98,2\(\%\), 99,2\(\%\), 98,4\(\%\) et 99,4\(\%\) des voxels du thorax satisfont au critère \(2\%\), respectivement, à 1, 9, 15 et \({20}\,{\textrm{MeV}}\). À \({1}\,{\textrm{MeV}}\), il y a une perte de précision dans les voxels pulmonaires par rapport aux faisceaux d'énergie plus élevée. La légère perte d'accord BFP-MC, dans certains voxels, est causée par l'interface osseuse. Si l'on néglige la discontinuité de l'interface osseuse, 99,8\(\%\) des voxels thoraciques satisfont au critère \(2\%\) (tous faisceaux confondus). La figure 3 montre que la manière dont Géant-4 gère cette discontinuité est ambiguë. Nous avons testé d'autres constructeurs de listes physiques, à savoir G4EmPenelope, G4EmLowPhysics, G4EmStandard et G4EmStandard_opt4. Les mêmes échecs, que ceux de G4EmLivermore (Fig. 3), persistent. Cette défaillance de Géant-4 peut être corrigée soit (1) en forçant la taille du pas d'électrons à ne pas dépasser \(25\%\) de l'épaisseur du voxel ; ou (2) en optimisant les constantes de contrôle de l'algorithme d'historique condensé (CH) G4UrbanMscModel106. L'équipe Geant-4 conseille l'option 1. Bien que plus physique, l'option 2 est très chronophage107. Enfin, l'interpolation Hermite cubique par morceaux post-traitement de la dose Geant-4 pour une comparaison MC-BFP de grille de voxels unique provoque la propagation de cette anomalie unique aux voxels intermédiaires, réduisant ainsi davantage le pourcentage au tableau 1.

Courbes de dose en profondeur Njoy-Dragon-5 (lignes pleines) comparées à Geant-4 [G4EmLivermore (cercles)] pour les faisceaux d'électrons unidirectionnels incidents autour de la transition tumeur [gauche] -aluminium [droit] dans le benchmark IORT. Les dimensions sont fixées à la portée du faisceau incident. Les convergences MC sont obtenues pour un écart-type moyen de \(0,2\%\).

Les mêmes courbes profondeur-dose pour la référence IORT (Fig. 1c) sont représentées sur la Fig. 2c. Les doses aux interfaces de l'aluminium ainsi qu'au sein de l'accumulation tumorale sont en accord étroit entre Dragon-5 et Geant-4. Pour le faisceau \({9}\,{\textrm{MeV}}\), la déviation moyenne du BFP-MC est de 0,60\(\%\), 0,98\(\%\), 0,00\(\%\) et 0,00\(\%\), respectivement, dans le tissu tumoral, l'aluminium, l'acier et le tissu mammaire. Ces écarts sont de 0,47\(\%\) (0,46\(\%\)), 0,99\(\%\) (0,92\(\%\)), 0,00\(\%\) (0,00\(\%\)) et 0,00\(\%\) (0,00\(\%\)) pour le \({15}\,{\textrm{MeV}}\) (\ ({20}\,{\textrm{MeV}}\)) faisceau. Les doses d'électrons Dragon-5 et Geant-4 sont nulles dans la dalle d'acier et le tissu mammaire, ce qui signifie qu'une atténuation complète du faisceau a été obtenue dans la dalle d'aluminium pour les deux codes. L'anomalie de l'interface T-bone (Fig. 3) disparaît à l'interface aluminium. Le pourcentage de voxels satisfaisant le critère \(2\%\) est de 99,27\(\%\), 94,55\(\%\), 96,00\(\%\) et 96,36\(\%\), respectivement, pour 1, 9, 15 et \({20}\,{\textrm{MeV}}\) faisceaux. 99,7\(\%\) des voxels tumoraux et mammaires satisfont au critère \(2\%\). La figure 4 confirme que les écarts BFP-MC sont observés dans l'accumulation de \(_{13}\)Al et non à l'interface tumeur-\(_{13}\)Al.

L'utilisation d'autres constructeurs de listes physiques ne résoudra pas cette erreur. Nous montrerons qu'il existe une correspondance acceptable (inférieure à \(2\%\)) entre la dose prédite par Geant-4 et Dragon-5 dans des dalles \(_{13}\)Al homogènes pour toutes les profondeurs et tous les faisceaux. L'erreur d'accumulation de \(_{13}\)Al peut être corrigée, comme pour le T-bone (Fig. 3), soit en forçant le suivi, soit en affinant la méthode de l'historique condensé. Dès que la particule entre dans un nouveau volume ou commence une nouvelle piste, son pas s est réinitialisé selon \(s=f_{r} \max (R,\lambda _1)\), où R est le domaine électronique et \(f_{r}\) (\(\in [0,1]\)) est une constante de contrôle. Ici, toutes les sections efficaces sont supposées constantes le long de s. Il convient soit (1) de restreindre la valeur de s pour que le pouvoir d'arrêt ne varie pas de plus de \(20\%\) lors de l'étape108 ou (2) de réduire s à moins de \(25\%\) de la largeur du détecteur. Par conséquent, la fonction publique SetStepFunction de la classe de base G4VMultipleSacttering doit être appelée pour un contrôle supplémentaire du pas d'électrons. Deux paramètres internes doivent être finement optimisés : (1) dRoverRange qui impose une taille de pas maximale donnée par le rapport step/range et (2) la finalRange. Le transport d'électrons MC devient alors extrêmement chronophage ; résoudre ce problème dépasse le cadre des travaux actuels.

De plus, il n'y a aucun intérêt clinique à être précis dans la prédiction du dépôt de dose dans la dalle \(_{13}\)Al. Cependant, la perte partielle de précision dans le tissu tumoral (\(0,5\%\) de voxels, tableau 1) est causée par l'effet de rétrodiffusion \(_{13}\)Al. L'erreur maximale reste inférieure à \(2.48\%\) (tous voxels, faisceaux et matériaux confondus). On peut s'interroger sur la validité de la coupure de transport \({1}\,{\textrm{keV}}\) imposée par les données CEPXS. La portée d'un électron \({1}\,{\textrm{keV}}\) dans le tissu est \({5}\,{\upmu {\textrm{m}}}\). En prenant le pire scénario étudié ici, un faisceau \({1}\,{\textrm{MeV}}\), typique du cancer épithélial de la peau autre que le mélanome, aura une plage de \({0,5}\,{\textrm{cm}}\). Avec la densité de 500 voxels utilisée dans Dragon-5, cela se traduit systématiquement par un voxel ayant une épaisseur \({10}\,{\upmu {\textrm{m}}}\) ; c'est-à-dire un voxel deux fois plus grand que la portée de l'électron.

Les courbes de dose en profondeur de Dragon-5 comparées à celles de Geant-4 sur la référence de type patient à haute hétérogénéité (HH) (Fig. 1d) sont représentées sur la Fig. 2d. Un bon accord BFP-MC est observé pour tout faisceau, matériau, interface et/ou accumulation. Cette référence ajoute un nouveau niveau de complexité supérieur aux études de cas précédentes sur le thorax et l'IORT. Les effets de rétrodiffusion des électrons sont plus fréquents, plus intenses et ont une conséquence directe sur la dose. Contrairement au T-benchmark (Fig. 3), l'insert de la Fig. 2d montre que les écarts d'interfaces sont beaucoup plus faibles et nous n'observons pas de défaillances aux interfaces osseuses.

Différences relatives BFP-MC dans les profils de dépôt d'énergie par rapport à la profondeur pour des faisceaux sélectionnés de 4, 10 et \({15}\,{\textrm{MeV}}\) de \(Z=3\) à \(Z=34\). Les dimensions des dalles irradiées sont fixées à la portée du faisceau dans le matériau irradié. Les convergences de Monte Carlo sont obtenues pour un écart-type moyen de \(0,2\%\).

Différences relatives de BFP-MC dans les profils de dépôt d'énergie par rapport à la profondeur pour des faisceaux sélectionnés de 4, 10 et 15 MeV de \(Z=35\) à \(Z=66\). Les dimensions des dalles irradiées sont fixées à la portée du faisceau dans le matériau irradié. Les convergences de Monte Carlo sont obtenues pour un écart-type moyen de \(0,2\%\).

Différences relatives de BFP-MC dans les profils de dépôt d'énergie par rapport à la profondeur pour des faisceaux sélectionnés de 4, 10 et 15 MeV de \(Z=67\) à \(Z=98\). Les dimensions des dalles irradiées sont fixées à la portée du faisceau dans le matériau irradié. Les convergences de Monte Carlo sont obtenues pour un écart-type moyen de \(0,2\%\).

(a) Njoy-Dragon-5 signifie des erreurs relatives dans les profils de dépôt d'énergie par rapport à Geant-4 en fonction de l'énergie du faisceau incident. Les courbes sont limitées aux atomes de classe I et -II. ( b ) Pourcentage de voxels de dalles atomiques homogènes satisfaisant une différence de dose relative de BFP-MC \ (2 \% \) par rapport à Z. Les convergences de Monte Carlo sont obtenues pour un écart type moyen de \ (0,2 \% \).

Ceci peut s'expliquer par un contrepoids d'erreurs provenant de la rétrodiffusion des dalles voisines, étant donné que l'on passe de 4 (T) à 11 (HH) dalles. L'erreur relative moyenne du BFP-MC est de \(0,55\%\), \(0,56\%\), \(0,57\%\) et \(0,57\%\), respectivement, à 1, 9, 15 et \({20}\,{\textrm{MeV}}\). Le tableau 2 montre le pourcentage de voxels satisfaisant le critère \(2\%\) pour chacune des 11 dalles. Pour l'ensemble du HH-benchmark, un minimum de \(99.18\%\) de voxels satisfait le critère \(2\%\), tous faisceaux confondus. Le pourcentage de voxels HH qui satisfont une limite de \(1\%\) écart BFP-MC est d'environ \(77,82\%\), \(78,55\%\), \(84,36\%\), \(82,55\%\), respectivement, pour 1, 9, 15 et \({20}\,{\textrm{MeV}}\) faisceaux d'électrons.

Les référentiels précédents se limitent au contexte de la radio-oncologie. Nous répondons maintenant à la question de savoir quelle serait la limite du mode CEPXS dans ELECTR pour les faisceaux de 1 à \({20}\,{\textrm{MeV}}\). Nous proposons ensuite une irradiation électronique de dalles homogènes successives couvrant l'ensemble du tableau périodique. Les dimensions des dalles sont toujours fixées à la portée du faisceau incident. Le transport reste limité aux électrons sans tenir compte des effets de contamination. Les figures 5, 6 et 7 montrent l'erreur relative BFP-MC dans les profils de dépôt d'énergie en fonction de la profondeur du matériau de \(Z=3\) (lithium) jusqu'à \(Z=98\) (californium). Le dépôt d'énergie est suivi jusqu'à ce que l'atténuation complète du faisceau soit atteinte. Comme critère de précision acceptable, nous prenons un écart MC-BFP inférieur au seuil de \(2\%\), c'est-à-dire conforme aux normes de radio-oncologie14,50. Hormis quelques exceptions, que nous détaillons dans ce qui suit, le critère de \(2\%\) est satisfait pour presque tous les voxels et énergies de faisceau, de \(Z=3\) (lithium) à \(Z=58\) (cérium) (Figs. 5, 6).

La gamme de \(_3\)Li à \(_{58}\)Ce forme une première classe d'intérêt CEPXS, que nous notons Classe-I. A partir de \(_{59}\)Pr, on observe l'émergence d'une déviation systématique MC-BFP déclenchée autour de \(D_{\text {max}}\), la profondeur de la dose maximale. Dans l'ensemble, cette dernière erreur augmente et augmente avec Z, indépendamment de l'énergie du faisceau. Pour le faisceau \({15}\,{\textrm{MeV}}\), à \(D_{\text {max}}\), il va de \(2.268\%\) à \(2.296\%\), \(3.080\%\), \(3.381\%\), \(3.392\%\) respectivement, pour \(_{60}\)Nd, \(_{61}\)Pm , \(_{62}\)Sm, \(_{63}\)Eu et \(_{64}\)Gd dalles (Fig. 6). Il augmente lentement de \(_{59}\)Pr à \(_{92}\)U, où il stagne autour de \(4,62\%\) à \(D_{\text {max}}\) (Fig. 7). L'augmentation de l'écart MC-BFP dans l'expansion spatiale autour de \(D_{\text {max}}\) est \(\sim 4\%\) (du total des voxels) par augmentation de Z de \(_{59}\)Pr à \(_{92}\)U. Pour cette deuxième classe d'intérêt de \(_{59}\)Pr à \(_{92}\)U, que nous notons Classe-II, l'échec ne concerne que la région autour de \(D_{\text {max}}\). L'accumulation et la région de la queue sont épargnées. Une troisième classe CEPXS d'intérêt de \(_{93}\)Np à \(_{99}\)Es, notée Classe-III, apparaît pour laquelle la divergence BFP-MC est totale et considérable (Fig. 7). Il existe des exceptions à cette classification. Premièrement, le transport BFP est ambigu pour les dalles gazeuses, par exemple, \(_{1}\)H, \(_{2}\)He, \(_{9}\)F et \(_{54}\)Xe. Comprendre l'origine de cette anomalie de transport déterministe dans les milieux gazeux dépasse le cadre de cette étude. La littérature n'aborde pas non plus ce sujet. Deuxièmement, \(_{32}\)Ge est une exception aux performances des matériaux de classe I (Fig. 5), c'est-à-dire que la rupture est totale pour cette dalle (\(\sim 15\%\) à \({15}\,{\textrm{MeV}}\) autour de \(D_{\text {max}}\)). Troisièmement, les excellentes performances des dalles \(_{85}\)At et \(_{87}\)Fr sont inattendues pour les atomes de classe II (Fig. 7). On retient donc que les fonctions d'alimentation CEPXS dans ELECTR sont acceptables de \(Z=1\) à \(Z=58\), \(_{85}\)At et \(_{87}\)Fr, sauf pour \(_{32}\)Ge, \(_{3}\)Li, \(_{4}\)Be et les milieux purement gazeux.

De plus, nous observons que la diminution des densités des matériaux de classe II de celles du NIST à \({1.0}{\mathrm{g/cm^3}}\) réduit systématiquement l'erreur BFP-MC. Cela est dû à une diminution du taux d'interaction qui s'ensuit. Par exemple, la diminution de la densité de la dalle \(_{92}\)U de \({18,94}{\mathrm{g/cm^3}}\) à \({1,0}{\mathrm{g/cm^3}}\) réduit l'erreur maximale de \(4,62\%\) à \(2,50\%\) à \(D_{\text {max}}\). L'erreur autour de \(D_{\text {max}}\) est également systématiquement corrigée. Par conséquent, les matériaux de classe II peuvent répondre au critère \(2\%\) à la limite d'une réduction de densité. Cependant, le même test ne fonctionnera pas pour les matériaux de classe III. Par exemple, la diminution de la densité de la dalle \(_{98}\)Cf (de 15,1 à \({1,0}{\mathrm{g/cm^3}}\)) réduit l'erreur de \(22\%\) à seulement \(12\%\) à \(D_{\text {max}}\). Alors que pour les matériaux de classe I et de classe II, l'erreur BFP-MC est assez indépendante de l'énergie du faisceau (Fig. 5, 6 et 7), les erreurs des matériaux de classe III sont sensibles à l'énergie du faisceau incident.

La figure 8a représente l'erreur BFP-MC moyennée sur tous les voxels pour les atomes de classe I et de classe II en fonction de l'énergie du faisceau. Cependant, l'erreur moyenne reste non représentative, étant donné que dans \(95\%\) des cas, elle reste inférieure au critère \(2\%\). D'autre part, la figure 8a confirme que la déviation MC-BFP est (i) peu sensible à l'énergie du faisceau ; et (ii) très sensible à Z. La distinction de l'effet de classe est mieux identifiée sur la figure 8b, qui montre le pourcentage de voxels avec une erreur relative BFP-MC inférieure à \(2,0\%\) en fonction de Z pour différents faisceaux. La transition de la classe I (\(100\%\) de voxels) à la classe II (\(\sim\)30–80 % de voxels) est évidente autour de \(_{59}\)Pr. La forte augmentation de l'erreur pour la classe III et la diminution du nombre de voxels efficaces jusqu'à la limite de \(\sim 20\%\) est également évidente, sur la figure 8b, autour de \(_{93}\)Np. Les exceptions, en particulier les dalles de gaz et \(_{32}\)Ge de la classe I, \(_{85}\)At et \(_{87}\)Fr de la classe II, sont visibles sur la figure 8b.

La figure 9 montre les profils de dépôt d'énergie du solveur BFP Dragon-5 par rapport aux données expérimentales de Lockwood68 et Egs-nrc. Deux schémas de calcul Dragon-5 sont examinés ; le premier avec l'ancienne bibliothèque multigroupe CEPXS-BFP109 et le second avec le mode CEPXS dans ELECTR. Les mesures calorimétriques de Lockwood sont limitées à des faisceaux unidirectionnels de 1 MeV. Les benchmarks analysés sont caractérisés par des matériaux hétérogènes, à Z élevé et moyen. Quatre observations peuvent être faites. Premièrement, les fonctions d'alimentation CEPXS dans ELECTR sont équivalentes au code CEPXS-BFP. Cela fournit une preuve solide que les sections efficaces calculées par Electr sont fiables. Deuxièmement, la différence Dragon-5-Lockwood est inférieure à la précision des données expérimentales (\(\sim 2\%\)) pour \(98\%\) des voxels (tous repères inclus). Troisièmement, l'accord Dragon-Egs-nrc est inférieur à la précision sur les sections efficaces (\(\sim 2\%\)) pour \(100\%\) des voxels. Quatrièmement, il existe un accord inattendu pour la dalle d'uranium (Fig. 9d) étant donné que cet atome est de classe II (Fig. 7). L'accord uranium peut s'expliquer par (1) l'énergie du faisceau (sur la Fig. 9) qui est très faible pour une classification propre ; ou (2) la bibliothèque G4EmLivermore (sur les figures 5, 6, 7) pourrait être problématique pour cet atome. Répondre à cette question nécessiterait une enquête au-delà de la portée des travaux actuels.

Un faisceau d'électrons unidirectionnel de 1 MeV incident sur : (a) des plaques d'aluminium/or/aluminium ; (b) Plaques Carbone/Or/ Carbone ; (c) Carbone/Cuivre/Carbone ; et (d) dalle d'uranium. Les dépôts d'énergie expérimentaux sont issus des mesures calorimétriques de Lockwood68. Ici, EGSnrc est le code Monte Carlo de référence. Deux calculs déterministes sont présentés. Le premier correspond à Dragon-5 alimenté par une bibliothèque au format FMAC basée sur le code CEPXS-BFP, tandis que le second à la chaîne NJOY [ELECTR]–Dragon-5. Les dimensions sont fixées à la portée du faisceau incident dans le repère irradié.

Dans cet article, nous avons présenté et validé ELECTR, un module de génération de section efficace d'électrons multigroupes à la pointe de la technologie dans NJOY. ELECTR produit une bibliothèque au format GENDF contenant : les sections efficaces électroatomiques catastrophiques totales multigroupes, la production de cascade de relaxation, les composants de Legendre anisotropes des matrices de diffusion inélastique catastrophique élastique intra-groupe et groupe à groupe, les puissances d'arrêt douces radiatives et collisionnelles, les coefficients de transfert d'impulsion Fokker-Planck multigroupes, les sections efficaces de dépôt d'énergie et de charge. Cette validation était limitée au mode CEPXS dans ELECTR. Ainsi, les interactions traitées incluent : la diffusion inélastique de Møller, la diffusion élastique de Mott, le bremsstrahlung, mais aussi la fluorescence, les productions d'électrons Auger, Coster–Kronig et super Coster–Kronig. Le module de post-traitement NJOY MATXSR a été mis à niveau pour formater la bibliothèque GENDF produite au format MATXS. Le solveur Dragon-5 Boltzmann – Fokker – Planck (BFP) a également été mis à niveau pour accéder à la bibliothèque MATXS et résoudre l'équation BFP. La validation de la chaîne Njoy-Dragon a été proposée contre des données calorimétriques expérimentales et Egs-nrc sur les benchmarks de Lockwood, mais aussi contre Geant-4 sur des benchmarks typiques de radio-oncologie. Les limites du mode CEPXS ont été rapportées en irradiant des dalles de \(Z=1\) (hydrogène) jusqu'à \(Z=99\) (einsteinium), de 1 à 20 MeV, couvrant l'ensemble des spectres des faisceaux cliniques de radiothérapie et de radiochirurgie.

Pour les plaques typiques de Lockwood à Z élevé et moyen, les différences de dose Njoy-Dragon, par rapport aux mesures calorimétriques, étaient inférieures à la précision expérimentale pour \(99\%\) de voxels. Alors que pour \(100\%\) des voxels, les écarts de dose entre Njoy-Dragon et Egs-nrc étaient de l'ordre de la précision sur les coupes efficaces. Pour des plaques d'eau homogènes, pour des faisceaux de 1 à 20 MeV, tous voxels confondus, l'erreur BFP-MC moyenne était inférieure à \(0,52\%\). Il convient de noter en particulier que \(100\%\) des voxels d'eau satisfaisaient au critère \(2\%\). Pour le benchmark thorax, tous faisceaux confondus, la déviation moyenne BFP-MC était de \(0,65\%\), \(0,75\%\), \(0,52\%\) et \(0,56\%\), respectivement, dans la première dalle d'eau, l'os, le poumon et la dernière dalle d'eau. Précisément, 99,2\(\%\) et 98,4\(\%\) des voxels du thorax satisfont le critère \(2\%\) respectivement à 9 et 15 MeV. Une déviation systématique BFP-MC a été observée au point de discontinuité de l'interface osseuse. Cette erreur est due à un problème de franchissement de frontière côté Géant-4 qui peut être résolu en forçant le pas de la trajectoire de l'électron. Pour un benchmark typique de radiothérapie intra-opératoire (IORT), tous faisceaux confondus, l'erreur relative moyenne BFP-MC était de \(0,51\%\), \(0,96\%\), \(0,00\%\) et \(0,00\%\), respectivement, dans le tissu tumoral, l'aluminium, l'acier et le tissu mammaire. Pour tous les faisceaux, \(99,7\%\) des voxels tumoraux et mammaires IORT satisfaisaient au critère AAPM \(2\%\). Enfin, pour le benchmark patient-like à forte hétérogénéité, tous faisceaux confondus, l'erreur relative moyenne BFP-MC était d'environ \(0,56\%\), tandis que, dans le pire des cas, \(97,0\%\) des voxels adipeux, musculaires, osseux et pulmonaires satisfaisaient au critère \(2\%\). En irradiant des dalles homogènes de \(Z=1\) (hydrogène) vers \(Z=99\) (einsteinium), nous avons déterminé les limites du mode CEPXS dans ELECTR. Hormis l'exception du gaz, il existe un excellent accord BFP-MC (inférieur à \(2\%\)) de \(_{1}\)H à \(_{58}\)Ce. Ensuite, à partir de \(_{59}\)Pr, une déviation systématique apparaît autour de \(D_{\text {max}}\) (la profondeur maximale de dépôt de dose). Cette erreur augmente et s'étend avec Z, indépendamment de l'énergie du faisceau. Le gain d'expansion spatiale de l'erreur, autour de \(D_{\text {max}}\), est de \(\sim 4\%\) (du total des voxels) par unité d'augmentation de Z de \(_{59}\)Pr à \(_{92}\)U. L'erreur va de \(2.27\%\) pour \(_{60}\)Nd à \(4.62\%\) pour \(_{92}\)U. A partir de \(_{93}\)Np, on observe une dernière catégorie pour laquelle les données du CEPXS ne sont plus fiables. Tous les cas-tests étudiés sont en 1D pour exclure tout biais déterministe dans la validation de la bibliothèque multigroupe.

Nous pensons qu'une précision et une assurance qualité supplémentaires peuvent être obtenues avec les fonctions d'alimentation ENDF, c'est-à-dire les données EEDL-2017, EPDL-2017 et EADL-2017. Une prochaine étape naturelle consiste donc à étudier les performances potentielles du module ELECTR en mode ENDF. Une telle bibliothèque est censée corriger les anomalies rapportées, couvrir la planification des traitements de radiothérapie conventionnelle et de radiochirurgie mais aussi la modalité de radiothérapie à très haute énergie pour les tumeurs profondes. Le mode ENDF permettra d'utiliser les mêmes données des deux côtés (BFP et MC), ce qui ouvre la porte aux analyses de sensibilité et à l'explication de l'origine des différences. Cette bibliothèque devrait couvrir une large gamme d'énergies allant de \({100}{\textrm{eV}}\) à \({100}{\textrm{GeV}}\).

Les ensembles de données utilisés et analysés au cours de la présente étude sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable. Le code DRAGON-5 et les bibliothèques au format MATXS sont disponibles sous la licence publique générale limitée GNU (LGPL). Le mode ENDF dans le code ELECTR sera également disponible sous licence open source d'ici 2024.

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Ce travail a été soutenu par une subvention à la découverte du Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG), une subvention du programme Collaborative Research and Training Experience (CREATE-481695-2016) en sciences de l'ingénieur basées sur la simulation (Génie Par la Simulation) et le Fonds d'excellence en recherche Apogée Canada par l'intermédiaire de l'Institut TransMedTech (ID : 094382). Nous apprécions grandement le soutien inconditionnel de Charles Bienvenue (IGN, École Polytechnique) au cours de cette étude. Ses conseils et ses interventions ont fait toute la différence. Un des auteurs (AN) tient à remercier Yasamin Majedi (Hôpital général juif, Université McGill) et Darren Hall (réacteur SLOWPOKE, École Polytechnique) pour leurs commentaires et corrections linguistiques.

Département de génie physique, Institut de génie nucléaire, École Polytechnique, Montréal, H3T1J4, Canada

Ahmed Naceur & Cornelia Chilian

Département de génie mécanique, Institut de génie nucléaire, École Polytechnique, Montréal, H3T1J4, Canada

Alain Hébert

Division des sciences informatiques, Laboratoire national d'Argonne, Lemont, IL60439, États-Unis

Paul Roman

Département des sciences et de l'ingénierie nucléaires, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA02139, États-Unis

Benoît Forget

CRCHUM, Centre hospitalier de l’Université de Montréal, Montréal, H2L4M1, Canada

Jean-François Carrier

Department of Physics, Université de Montréal, Montréal, H3T1J4, Canada

Jean-François Carrier

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AN a revisité la théorie, développé le code et les schémas de calcul, post-traité et analysé les résultats et rédigé le texte du manuscrit ; AH a proposé une partie du projet, revisité la théorie et développé le noyau ; PR et JF.C ont critiqué et discuté les résultats, identifié les faiblesses et proposé des solutions ; BF, CC et JF.C. revu le manuscrit et amélioré la qualité. JF.C. supervisé de près et financé le projet.

Correspondance à Ahmed Naceur.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Naceur, A., Hébert, A., Romano, P. et al. Faisabilité d'une solution Boltzmann – Fokker – Planck multigroupe pour les calculs de dose de faisceau d'électrons. Sci Rep 13, 1310 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-27376-y

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Reçu : 12 octobre 2022

Accepté : 02 janvier 2023

Publié: 24 janvier 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-27376-y

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