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Identification de la rigidité spatialement incertaine d'une poutre en porte-à-faux
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Identification de la rigidité spatialement incertaine d'une poutre en porte-à-faux

Jul 17, 2023

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 1169 (2023) Citer cet article

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Cette étude identifie les rigidités non homogènes de manière non destructive à partir de mesures bruitées simulées d'une réponse structurelle. La méthode des éléments finis sert de discrétisation pour les exemples de problèmes de poutre en porte-à-faux respectifs : chargement statique et analyse modale. Les développements de Karhunen–Loève représentent les champs aléatoires de rigidité. Nous résolvons les problèmes inverses en utilisant l'inférence bayésienne sur les coefficients de Karhunen–Loève, introduisant ainsi une nouvelle méthode de fréquence de résonance. Les descriptions flexibles de l'incertitude de rigidité structurelle et des caractéristiques de bruit de mesure permettent une adaptation directe aux configurations de mesure et à une gamme de matériaux non homogènes. L'évaluation des performances d'inversion pour différentes fonctions de covariance de rigidité montre que la procédure d'analyse statique surpasse la procédure d'analyse modale dans un sens moyen. Cependant, la qualité de la solution dépend de la position dans le faisceau pour l'approche d'analyse statique, tandis que la hauteur de l'intervalle de confiance reste constante le long du faisceau pour l'analyse modale. Une étude de l'effet du rapport signal sur bruit révèle que la procédure de chargement statique produit des erreurs inférieures à la procédure dynamique pour la configuration choisie avec des conditions aux limites idéales.

Les paramètres matériels peuvent être identifiés de diverses manières. Les méthodes établies peuvent être classées en méthodes destructives et non destructives1. « Destructif » implique que l'éprouvette de mesure a, par exemple, subi des déformations plastiques lors d'essais de traction et n'est donc pas conforme aux exigences du produit après l'essai, c'est-à-dire qu'elle ne peut plus remplir l'objectif initial. Souvent, ces tests sont effectués jusqu'à ce que l'échantillon échoue. Les méthodes d'essais non destructifs offrent un moyen d'identifier les paramètres du matériau tandis que l'échantillon conserve ses propriétés. Par conséquent, ces méthodes sont populaires à des fins de contrôle de la qualité après le processus de fabrication afin de garantir certaines exigences.

D'une part, les méthodes dynamiques sont populaires pour tester les matériaux d'ingénierie. Les mesures d'écho d'impact ou de transmission à l'aide d'ondes élastiques présentent des méthodes populaires en régime haute fréquence qui évaluent l'apparition des ondes2. Cependant, l'examen des modes individuels d'ondes ultrasonores guidées contient plus d'informations3,4,5. En général, les approches d'adaptation d'onde dans le régime haute fréquence continuent d'évoluer6, où l'utilisation de la forme d'onde complète est remarquable7. Dans des régimes de fréquences plus basses, des ondes stationnaires peuvent être utilisées. Dans ce cas, la méthode des fréquences de résonance utilise les fréquences propres connectées aux modes propres pour l'identification des paramètres du matériau ou la détection des défauts8.

En revanche, les méthodes statiques peuvent être considérées comme non destructives lorsqu'elles sont réversibles et placent l'éprouvette dans des conditions de chargement élastique linéaire. Les tests d'indentation et les mesures de déformation avec des jauges de contrainte sont utilisés dans les procédures qui fonctionnent au niveau de la surface, tout comme le font de nombreuses techniques de mesure de déplacement. Au sein de ce dernier, la corrélation d'images numériques entre un état de référence et l'état déformé d'un spécimen conduit à un champ de déplacement9, où plusieurs techniques peuvent être utilisées pour capturer les images respectives10.

Les discontinuités telles que les défauts ou les fissures sont généralement les quantités d'intérêt pour les matériaux nominalement homogènes11. Avec des matériaux non homogènes, une variation spatiale locale des propriétés des matériaux est en outre introduite dans le système12. Selon la gravité de la non-homogénéité, cela peut avoir un effet significatif sur la réponse du système. C'est certainement le cas pour les matériaux d'ingénierie comme le bois. La variation spatiale des propriétés des matériaux a été quantifiée pour des spécimens individuels13,14. Savvas et al.15 identifient la variation spatiale à méso-échelle des propriétés des matériaux à partir d'informations à micro-échelle. Cependant, des descriptions rigoureuses du comportement spatial ne sont pas facilement disponibles. Compte tenu de ce manque de données, la procédure standard consiste à supposer une variation spatiale aléatoire des propriétés du matériau. Ce caractère aléatoire spatial des propriétés des matériaux peut être décrit avec la théorie des champs aléatoires, qui est largement traitée dans la littérature16,17. Rasmussen et Williams18 ​​popularisent cette théorie de la régression, généralisée par Duvenaud19. L'intégration des incertitudes spatiales avec la méthode des éléments finis (MEF) est couverte dans la littérature20,21.

L'incertitude spatiale est donc compatible avec les pratiques établies de quantification de l'incertitude22. Sepahvand et Marburg23 le démontrent pour la propagation vers l'avant de l'incertitude dans la dynamique structurelle en représentant les propriétés des matériaux comme des champs aléatoires.

La connaissance des sensibilités des sorties du système par rapport aux entrées du système est précieuse. Cependant, de nombreuses méthodes de contrôle non destructif impliquent un problème inverse, comme par exemple l'étude sur l'imagerie d'élasticité par Gokhale et al.24. Étant donné que les quantités d'intérêt ainsi que les paramètres mesurés sont chargés d'incertitudes, une approche naturelle pour la solution des problèmes inverses susmentionnés réside dans l'inférence bayésienne25,26,27.

L'identification des paramètres à l'aide du cadre bayésien présente deux avantages majeurs par rapport aux autres méthodes. Premièrement, lorsque des données de test limitées sur les paramètres existent, les méthodes bayésiennes nous fournissent un outil optimal pour quantifier l'incertitude28. Ceci est crucial lorsqu'il s'agit d'expériences coûteuses en ingénierie. L'utilisation de modèles statistiques fréquentistes classiques pour de telles situations ne donne des résultats fiables que lorsque le nombre de points de données est supérieur à un nombre spécifique, généralement 30, ou lorsque les données suivent strictement une distribution normale29. Si ces critères ne sont pas remplis, les résultats générés avec ces méthodes ne sont pas fiables ou impliquent un niveau d'incertitude accru.

Deuxièmement, le cadre bayésien implique des informations a priori disponibles sur les paramètres pris en compte par le modèle statistique30. Cette information préalable est ensuite mise à jour par les informations obtenues à partir des observations. Les sources d'informations préalables disponibles peuvent inclure des données primaires, de la littérature, des bases de données en ligne et même les connaissances d'experts. C'est un argument substantiel pour l'utilisation des méthodes bayésiennes dans les applications d'ingénierie, où les données peuvent être rares mais l'expertise sur les paramètres est abondante.

Marzouk et Najm31 sont les pionniers de l'application de l'inférence bayésienne à des quantités d'intérêt variables dans l'espace via la réduction de dimensionnalité obtenue par l'expansion de Karhunen-Loève (KL). Ils utilisent un substitut pour le modèle direct afin de réduire les coûts de calcul qui est basé sur le chaos polynomial généralisé (gPC)21. Le découplage de la discrétisation spatiale du domaine de calcul de la dimensionnalité aléatoire rend accessibles les problèmes inverses impliquant des systèmes plus grands.

Sun et You32 donnent un aperçu des sensibilités et des caractéristiques d'endommagement liées à l'analyse modale dans le contexte des essais non destructifs. Cugnoni et al.33 effectuent une identification déterministe d'un modèle de matériau de plaque composite en utilisant les informations combinées des fréquences naturelles et des formes de mode. Sepahvand et Marburg34,35 calculent les paramètres élastiques homogènes des plaques composites tout en tenant compte de l'incertitude à l'aide de données expérimentales. Notez la contribution de Desceliers et al.36, qui calculent la rigidité non homogène de la poutre à partir des mesures de réponse en fréquence en utilisant une estimation du maximum de vraisemblance. Batou et Soize37 considèrent un modèle de matériau de champ aléatoire utilisant la réduction de l'ordre du modèle et l'estimation du maximum de vraisemblance étant donné les fonctions de réponse en fréquence. Mehrez et al.38 estiment le module de Young d'une structure composite à un ensemble de nœuds avec inférence bayésienne et gPC en utilisant des fonctions de réponse en fréquence acquises à ces nœuds. Debruyne et al.39 appliquent cette procédure générale à une structure en nid d'abeilles.

Cette étude examine l'identification de la flexibilité structurelle variable dans l'espace en utilisant à la fois une méthode dynamique et une méthode statique. La méthode dynamique est une nouvelle approche bayésienne à dimensionnalité réduite pour identifier les paramètres élastiques d'une structure à l'aide d'informations de fréquence de résonance. La méthode statique suit un schéma similaire à celui de la recherche d'Uribe et al.40, qui reconstruisent les champs de rigidité à partir d'observations de déflexion en utilisant une version modifiée du cadre de Marzouk et Najm31.

Pour fournir une comparabilité et un aperçu des avantages respectifs de chaque méthode, les méthodes dynamique et statique utilisent la même configuration, à savoir une poutre en porte-à-faux avec une flexibilité structurelle variable dans l'espace. Les fréquences propres marquent le point de départ pour l'identification de la flexibilité dans la méthode dynamique, tandis que les déviations liées au chargement statique servent de données pour la méthode statique. Pour chaque méthode, une mise à jour bayésienne est ensuite effectuée sur un modèle de méthode d'éléments finis de la poutre en porte-à-faux avec une flexibilité structurelle inconnue, qui est considérée comme un échantillon d'un champ aléatoire gaussien le long de la poutre en porte-à-faux. L'expansion KL tronquée représente cette flexibilité variable dans l'espace, résultant en une description avec une dimensionnalité aléatoire réduite. Grâce à la configuration de l'inférence bayésienne, l'incertitude de la solution peut alors être comparée entre l'approche dynamique et l'approche statique.

Cet article est organisé comme suit : "Méthodes" introduit les champs aléatoires et les problèmes inverses, ainsi que la configuration d'inférence bayésienne partagée entre les approches dynamique et statique. "Application de la procédure" décrit l'intégration des modèles de poutre en porte-à-faux dynamique et statique dans le problème inverse, puis les résultats numériques sont présentés dans "Résultats et discussion". Après la conclusion et un aperçu des recherches futures dans "Conclusion", nous fournissons des informations supplémentaires dans l'annexe en ligne S1.

Cette étude considère la fluctuation spatialement aléatoire des propriétés des matériaux autour d'une valeur moyenne. La covariance connexe et la représentation par le développement KL sont couvertes par les "Concepts préliminaires" aux côtés du théorème de Bayes. « Procédure » ​​traite la formulation du problème inverse et l'intégration de ce dernier dans la mise à jour bayésienne en spécifiant le modèle de paramétrage et d'erreur de mesure pertinent pour la poutre en porte-à-faux.

Avec sa valeur moyenne, un champ aléatoire de second ordre est entièrement caractérisé par sa fonction de covariance. Le noyau de covariance \(Cov(t, t')\) est une fonction des coordonnées de deux points \(t, t'\) dans le domaine du champ, l'intervalle borné [0, L]. Cette étude considère des noyaux semi-définis continus, symétriques et positifs tels que le développement KL peut être utilisé.

Plusieurs familles de fonctions peuvent être utilisées comme fonctions de covariance. Nous adoptons le noyau exponentiel isotrope de la littérature17. C'est une fonction de la distance euclidienne r et du paramètre d'échelle de longueur l comme

où \(\sigma ^2\) est la variance18. Il est choisi car il existe des solutions analytiques au problème des valeurs propres connexe qui facilitent la vérification des implémentations numériques correspondantes41.

Le développement KL représente un champ aléatoire en prenant en compte la moyenne du champ aléatoire \(\mu (t)\) et en décomposant sa fonction de covariance. Cette méthode utilise des fonctions spatiales déterministes avec des coefficients aléatoires \(\xi _i\) pour la représentation du champ aléatoire. La troncature du développement KL après s sommations donne une approximation du champ avec une dimensionnalité d'espace aléatoire finie42, telle que

où \(\lambda _i\) sont les valeurs propres et \(\varphi _i(t)\) sont les fonctions propres de l'opérateur de covariance correspondant42. Pour obtenir un exemple de chemin ou de réalisation du champ aléatoire, un échantillon de sa paramétrisation \(\varvec{\xi }\) doit être tiré.

Si le paramètre de matériau considéré suit une distribution log-normale au lieu d'une distribution normale, les échantillons générés peuvent simplement être exponentiels. Cependant, la généralisation de l'expansion KL à des champs aléatoires non gaussiens n'est pas simple. Cela est dû en partie aux corrélations induites entre les coefficients aléatoires. Lorsque les transformations de forme fermée ne sont pas facilement disponibles, une distribution normale multidimensionnelle pleine dimension peut présenter un remède. Après transformation en [0, 1] à l'aide de la fonction d'erreur gaussienne, la fonction de distribution cumulative inverse d'une distribution arbitraire souhaitée peut être appliquée. Les distributions marginales résultantes suivent les distributions prescrites et conservent le lissage de l'échantillon sur le domaine inhérent à la structure de corrélation initiale, voir Vořechovský43.

Ce qui précède décrit la quantité d'intérêt, qui est maintenant déclarée comme \(\varvec{\theta }\). Ce qui suit présente l'inférence bayésienne, une méthode d'estimation de la quantité d'intérêt à l'aide d'un modèle, de données et de connaissances antérieures. Les approches d'inférence bayésienne tentent de résoudre le problème inverse tout en tenant compte des incertitudes ainsi que des connaissances préalables sur les quantités d'intérêt et la probabilité des données observées. Essentiellement, son résultat, le postérieur, reflète la manière dont les nouvelles données modifient nos croyances concernant les quantités inconnues.

En utilisant les logarithmes des probabilités pour contourner les problèmes de calcul résultant de la multiplication de petits nombres et en négligeant la constante de normalisation qui est la preuve, le théorème de Bayes se lit comme suit

Ici, q est la distribution a posteriori pour \(\varvec{\theta }\) étant donné certaines données \(\varvec{d}\), l est la probabilité d'observer les données \(\varvec{d}\) étant donné un modèle avec paramétrisation \(\varvec{\theta }\), et enfin, p est la distribution a priori sur \(\varvec{\theta }\).

Le lecteur est renvoyé à la littérature concernant le traitement de trois problèmes majeurs dans les solutions de problèmes inverses : l'existence, la non-unicité et l'instabilité de la solution, cette dernière étant également appelée mal-posée44.

Considérons un modèle avant, voir Fig. 1, d'une poutre en porte-à-faux

Ici, sa flexibilité structurelle C(t) est considérée comme une fonction sur le domaine de la poutre [0, L]. L'opérateur \(\mathscr {G}\) est utilisé pour transformer cette fonction en une sortie \(\varvec{d}\). Les déviations statiques et les fréquences propres comprennent \(\varvec{d}\) pour l'analyse statique et l'analyse modale, respectivement. La sortie mesurée

est sujet au bruit de mesure \(\varvec{\eta }\). Résoudre le problème inverse revient alors à

En pratique, une représentation en dimension finie de la flexibilité C(t) basée sur le vecteur de paramètres \(\varvec{\theta }\) composé des paramètres KL et de la moyenne du champ de flexibilité se lit comme

Cela conduit au modèle direct numérique discrétisé

Maintenant, Éq. (3) peut être adopté pour le problème à résoudre avec \(\varvec{d}=\varvec{d}_{meas}\), et la paramétrisation de dimension finie \(\varvec{\theta }\) donnée dans l'équation. (7). L'ordre de troncature nécessaire de l'expansion KL dépend de la covariance et est indépendant de la discrétisation spatiale choisie dans le modèle direct. Pour déterminer s, le rapport de la variance couverte par l'expansion KL tronquée à celle couverte par l'expansion complète doit être comparé aux ratios de seuil recommandés45. En règle générale, s est inférieur à 20 et est nettement inférieur à la discrétisation spatiale des équations gouvernantes. Cette réduction de la dimensionnalité de la discrétisation spatiale au nombre de coefficients KL est cruciale pour l'efficacité de certains algorithmes de Markov Chain Monte Carlo (MCMC). De plus, il permet l'utilisation de méthodes de modèle de substitution telles que gPC31.

En spécifiant le modèle de bruit de mesure, une probabilité personnalisée s'adapte aux rapports signal/bruit flexibles des composants de données. Ce modèle d'erreur de mesure suppose que le vecteur de mesure \(\varvec{d}_{meas}\) de dimension \(\kappa\) est perturbé par des composantes de bruit indépendantes

avec les variances correspondantes \(\sigma ^2_j\). Désormais, pour les mesures à valeur scalaire à plusieurs fréquences ou emplacements dans l'échantillon et une seule série de mesures, la probabilité

devient le produit des vraisemblances marginales de ses composantes. Les mesures à valeurs vectorielles ainsi que les mesures répétées nécessitent des modifications de l'Eq. (dix).

Avec des choix fixes pour la vraisemblance, le modèle direct, sa paramétrisation et la dotation de ce dernier en densités a priori, le côté droit de l'Eq. (3) peut être évalué. Cependant, les solutions de forme fermée pour la fonction de densité de probabilité postérieure ne sont disponibles que pour des cas particuliers impliquant la conjugaison. Cela nécessite un échantillonnage à partir du postérieur, ce qui peut être réalisé à l'aide des algorithmes Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Cette étude utilise la méthode d'échantillonnage à tranche unique variable telle que formulée par Neal46. Il est appliqué à chaque paramètre séparément, tandis que les autres paramètres sont fixes.

Cette section décrit l'application des méthodes présentées dans "Méthodes". Plus précisément, "Modèle de poutre en porte-à-faux" présente le modèle de poutre en porte-à-faux utilisé, tandis que "Analyse modale" décrit l'analyse modale du système et "Analyse statique" couvre l'analyse statique du système. Après les explications concernant ces modèles directs, "Identification de flexibilité à l'aide de mesures de fréquence propre à partir d'une analyse modale" fournit la procédure de résolution du problème inverse basée sur des données modales et "Identification de flexibilité à l'aide de mesures de déviation à partir d'une analyse statique" détaille la procédure lorsque des données de déviation sont données.

Considérez le modèle de poutre en porte-à-faux Timoshenko illustré à la Fig. 1, où les limites sont serrées sur le côté gauche et libres sur le côté droit. La poutre présente une longueur L et une section rectangulaire avec une aire de \(A = g\cdot h\), où la largeur et la hauteur de la section sont respectivement désignées par g et h. Le deuxième moment d'aire est calculé comme \(I = gh^3/12\), et le facteur de correction de cisaillement \(k_s\) pour une section rectangulaire est \(k_s = 5/6\). Le matériau de la poutre est caractérisé par le module de Young E et le module de cisaillement G, en tenant compte de la loi de Hooke.

La figure montre une vue latérale du modèle de poutre en porte-à-faux étudié avec son profil et le système de coordonnées. Le profil rectangulaire présente une largeur g et une hauteur h. La longueur du faisceau est L. Ici, la coordonnée du faisceau est notée t et la coordonnée de déviation se lit comme w.

Ce problème est implémenté avec la méthode des éléments finis via la bibliothèque SfePy Python47. La discrétisation de la flèche w, de l'angle \(\psi\) et des fonctions de pondération correspondantes est effectuée à l'aide de polynômes d'ordre \(2^\mathrm {{nd}}\) définis sur chaque élément.

Pour modéliser le module d'élasticité E variant dans l'espace, on suppose qu'il varie de manière aléatoire sur la coordonnée du faisceau t. L'inverse du module d'élasticité, c'est-à-dire la flexibilité élastique \(C = 1/E\), est alors supposé être une réalisation d'un champ aléatoire gaussien, où l'écart type est une fraction de la valeur moyenne. La fonction de covariance pour la flexibilité aléatoire est définie sur le domaine \(t\in [0,L]\) et un noyau exponentiel avec une longueur de corrélation choisie arbitrairement \(l=L/5\), comme défini dans l'Eq. (1), est choisi. La fonction de covariance est évaluée aux nœuds du maillage d'éléments finis, produisant des propriétés de matériau constantes par morceaux, comme indiqué pour un exemple de discrétisation grossière sur la figure 2.

Le graphique montre une distribution de rigidité choisie arbitrairement sur la coordonnée de la poutre à dix positions discrètes dans le modèle numérique de la poutre en porte-à-faux. La discrétisation est délibérément choisie comme grossière pour l'illustration. Étant donné que la rigidité est affectée aux nœuds plutôt qu'aux éléments, les rigidités aux limites sont deux fois moins larges que celles affectées aux éléments intérieurs.

Le domaine est discrétisé avec 100 éléments finis. Il en résulte 201 nœuds pour l'évaluation de la fonction de covariance. La matrice de covariance \(201\times 201\) résultante est utilisée pour synthétiser le vecteur de flexibilité de référence. La décomposition de Cholesky \(\varvec{LL}^\text{T}\) de cette matrice de covariance réalise la réalisation de la flexibilité de référence20. Cette méthode alternative est choisie pour le modèle de référence au lieu de l'expansion KL pour atténuer un crime inverse, car elle est plus précise, bien que dimensionnelle plus élevée, que l'expansion KL. Avec la flexibilité en flexion moyenne prescrite \(\mu _{C, true}\) et la matrice triangulaire inférieure \(\varvec{L}\) résultant de la décomposition de Cholesky, le champ de flexibilité se lit comme suit

où \(\varvec{\xi }\) est un vecteur de nombres aléatoires gaussiens standard non corrélés. La réalisation de \(\varvec{\xi }\) donne l'échantillon de référence de la flexibilité.

D'une part, nous considérons l'analyse modale de la poutre en porte-à-faux décrite dans "Modèle de poutre en porte-à-faux". Ici, les premières \(\kappa\) fréquences propres du système \(f_1, f_2, \dots ,f_{\kappa }\) obtenues en résolvant le problème des valeurs propres du système constituent le vecteur de réponse. Plus précisément, la flexibilité de référence \(\varvec{C}_{true}\) de la poutre en porte-à-faux conduit aux fréquences propres de référence connectées. Un vecteur de variables aléatoires gaussiennes indépendantes est ensuite superposé à ces fréquences propres pour émuler le bruit de mesure.

D'autre part, nous considérons la poutre en porte-à-faux décrite dans "Modèle de poutre en porte-à-faux" lorsqu'elle est soumise à un chargement statique F à \(t=L\). Ici, \(\kappa\) les mesures de déviation statique équidistantes comprennent le vecteur de réponse. Après avoir appliqué la flexibilité de référence \(\varvec{C}_{true}\) au modèle de poutre en porte-à-faux, nous calculons les déviations de référence connectées. Pour simuler le bruit de mesure, les déviations statiques sont superposées à des variables aléatoires gaussiennes indépendantes et identiquement distribuées.

Ensuite, nous utilisons des mesures bruitées des 10 premières fréquences propres simulées de la poutre en porte-à-faux avec le vecteur de flexibilité de référence. Ensuite, la flexibilité de référence est estimée pour toutes les positions dans le faisceau à partir de ces mesures de fréquences propres bruitées. A noter que la flexibilité de référence est inconnue dans le cadre de la procédure d'inversion.

La figure 4 montre un organigramme de la procédure d'inférence, tandis que les paragraphes suivants la décrivent plus en détail.

La reconstruction de la flexibilité de référence inconnue avec les méthodes décrites dans "Méthodes" nécessite l'hypothèse forte de la flexibilité moyenne constante, c'est-à-dire stationnaire, et celle de la covariance de flexibilité. Nous supposons la même covariance, un noyau de covariance exponentielle avec une longueur de corrélation \(l=L/5\) et un exposant de \(\gamma =2\), comme utilisé pour le modèle de référence afin de maintenir la comparabilité de la paramétrisation de la flexibilité. Ces hypothèses peuvent être assouplies par une famille paramétrée de noyaux et une inférence de leur paramétrisation avec les paramètres KL48. Le modèle EF de reconstruction présente 50 éléments quadratiques conduisant à une évaluation spatiale de la flexibilité à 101 nœuds. Cette discrétisation plus grossière par rapport au modèle de référence est encore une fois choisie pour éviter un crime inverse49.

Pour réduire la dimensionnalité aléatoire, nous discrétisons le champ aléatoire inconnu avec le développement KL de l'Eq. (2) tronqué à \(s=6\) termes. En supposant une moyenne constante, cela donne \(s+1\) variables aléatoires inconnues qui composent le vecteur discret d'inconnues \(\varvec{\theta }\), à savoir la moyenne et les paramètres s KL. Suivant Huang et al.45, cette configuration représente \(\alpha =98\%\) de la variance de la flexibilité aléatoire.

En utilisant le développement KL, nous appliquons essentiellement un processus gaussien a priori sur la flexibilité. Dans cette probabilité a priori, la moyenne de flexibilité est distribuée selon

et les paramètres KL sont dotés d'un a priori normal :

Ces distributions a priori peuvent être interprétées de manière analogue à la régularisation en optimisation. L'a priori normal choisi sur la moyenne de flexibilité représente une hypothèse faible, tandis que l'a priori sur les coefficients KL encode une hypothèse sur la variance de flexibilité.

Les écarts-types de bruit réels constituent le choix idéal pour les écarts-types de vraisemblances, car des mesures inexactes ne sont pas interprétées à tort comme exactes, et inversement, des mesures plus précises ne sont pas considérées comme excessivement bruyantes, entraînant ainsi une perte d'informations. En pratique, les caractéristiques d'erreur ou de bruit sont inconnues, mais peuvent être estimées à partir des informations statistiques obtenues à partir de mesures répétées. Nous définissons les vraisemblances avec un écart type supérieur à celui du bruit de mesure synthétique utilisé et sous-estimons ainsi la précision des mesures. Les valeurs numériques sont compilées avec tous les paramètres nécessaires à la reproduction des résultats dans l'annexe en ligne S1. La fonction de vraisemblance pour les mesures à valeur vectorielle dans Eq. (10) implique que chaque fréquence propre est mesurée une seule fois et non à plusieurs reprises.

L'écart type de vraisemblance de mesure est exprimé en fonction de la fréquence. Le graphique montre l'augmentation quadratique choisie de l'écart type de vraisemblance de mesure \(\sigma _j\) sur le nombre de fréquences propres correspondantes. Cette pondération accentue l'influence des premières fréquences propres. L'écart-type de probabilité plus élevé pour les fréquences propres plus élevées reflète l'attente selon laquelle la précision de la mesure se détériore avec l'augmentation de la fréquence.

L'écart-type de la vraisemblance augmente de façon quadratique avec le nombre de fréquences propres correspondantes, voir Fig. 3. L'appariement des fréquences propres basses se voit donc accorder plus d'importance.

L'algorithme d'échantillonnage de tranche génère des échantillons \(\varvec{\theta }^{(i)}\) à partir du postérieur dans l'équation. (3). Plusieurs chaînes avec différentes valeurs initiales aident à atténuer l'influence de la valeur initiale de la chaîne de Markov échantillonnée parallèlement à l'exclusion des échantillons de rodage du nombre d'échantillons utilisés U. L'évaluation de l'expansion KL appliquée aux échantillons postérieurs produit ensuite les échantillons correspondants du champ aléatoire postérieur.

Procédure générale pour reconstruire le champ aléatoire de référence en fonction des fréquences propres bruyantes et en supposant la covariance de référence, les a priori et les caractéristiques de bruit de mesure avec inférence bayésienne. La partie supérieure fait référence au calcul de la fréquence propre de référence à partir de la flexibilité de référence. Compte tenu des observations bruitées de ces fréquences de référence, le but de la procédure détaillée en bas est d'estimer la flexibilité de référence. Ici, la ligne pointillée marque la partie de l'inférence qui doit être calculée à chaque étape de la chaîne.

En plus de la valeur attendue de la flexibilité,

nous calculons des intervalles de confiance contenant 95 % des valeurs de \(C^{(u)}(t_j)\) pour chaque position \(t_j\). Enfin, l'erreur quadratique moyenne en pourcentage (RMSPE) par rapport à la flexibilité de référence est obtenue comme

L'identification de la flexibilité structurelle à l'aide de données de déviation statique suit la même procédure générale que celle décrite dans "Identification de la flexibilité à l'aide de mesures de fréquence propre à partir d'une analyse modale". Cette section ne reprend pas les étapes partagées entre les deux procédures, elle met plutôt en évidence les différences.

Ici, les mesures bruitées des déviations statiques simulées de la poutre en porte-à-faux avec la flexibilité de référence constituent les données. Avec ces 10 flèches statiques équidistantes, nous estimons la flexibilité de référence inconnue \(\varvec{C}_{true}\).

Le remplacement de modale par une analyse statique et des fréquences propres par des déviations statiques, respectivement, dans le schéma de procédure, voir Fig. 4, donne la procédure d'inversion à l'aide d'une analyse statique.

Contrairement à l'inversion par analyse modale, nous choisissons un écart type de vraisemblance constant pour l'analyse statique. La vraisemblance suit l'Eq. (10), où les déviations statiques sont mesurées une fois à chaque position équidistante.

Cette section présente les résultats de la présente étude. "L'analyse modale" et "l'analyse statique" considèrent l'intervalle de confiance de la solution sur la coordonnée du faisceau et "Les effets du rapport signal sur bruit et de la longueur de corrélation de flexibilité" explorent les effets du rapport signal sur bruit ainsi que la longueur de corrélation de flexibilité.

La figure 5 montre les résultats de la procédure pour un exemple de réalisation de la flexibilité aléatoire. Ici, les lignes pointillées marquent la flexibilité de référence inconnue a priori. La figure 5a montre le résultat en utilisant la méthode dynamique et la figure 5b illustre le résultat de la méthode basée sur la déviation statique à des fins de comparaison. Notez que l'approche bayésienne proposée produit une chaîne d'échantillons pour \(\theta _i\). Ces échantillons peuvent être utilisés pour estimer les moments statistiques les plus élevés de la distribution postérieure en plus de la moyenne et de la variance. Restreindre l'analyse des résultats à la moyenne et à la variance ne tiendrait pas compte de toute asymétrie de la postérieure à n'importe quel endroit, ce qui est visible sur la figure 5 à travers les intervalles de confiance asymétriques. De plus, notez que la procédure a produit un champ aléatoire postérieur non stationnaire car ces moments ne sont pas constants sur la longueur du faisceau.

Les paragraphes suivants interprètent les propriétés de l'intervalle de confiance le long de la coordonnée du faisceau t sur la base d'un total de 100 réalisations de la flexibilité de sorte que les interprétations sont applicables dans un sens général.

Les figures montrent les résultats du workflow d'inférence pour une flexibilité de référence spécifique. Le graphique de gauche correspond à l'analyse modale, tandis que la figure de droite est liée à l'analyse statique. Les lignes pointillées respectives montrent la flexibilité de référence, tandis que les lignes pleines respectives représentent sa moyenne postérieure estimée. Des hauteurs faibles des intervalles de confiance indiquent une plus grande certitude des résultats d'inférence à l'emplacement respectif.

Avec l'approche basée sur les fréquences propres et avec la structure de vraisemblance choisie, la taille de l'intervalle de confiance est à peu près constante le long de la coordonnée du faisceau t. Le choix actuel des 10 premières fréquences propres conduit donc à une quantité comparable d'informations de flexibilité pour toutes les positions spatiales.

Éviter les signes non physiques de la flexibilité est simple en utilisant le modèle basé sur la fréquence propre, car une flexibilité négative conduit à une fréquence propre au carré négative. Pour ce cas, la vraisemblance des solutions candidates correspondantes est simplement fixée à zéro et nous obtenons ainsi une estimation purement positive de la flexibilité ici.

Avec l'approche basée sur la déviation statique, l'intervalle de confiance augmente à mesure que la distance depuis le serrage augmente. Ceci est cohérent avec l'intuition que le moment de flexion dans la poutre varie linéairement le long de l'axe de la poutre, la valeur absolue maximale étant au serrage. Étant donné que l'impact des fluctuations de flexibilité sur la flèche dépend directement du moment de flexion, ces fluctuations ont leur plus grand impact près de la frontière serrée. A l'inverse, les déviations contiennent proportionnellement plus d'informations sur la souplesse du côté gauche que du côté droit. Cela facilite la propagation des erreurs de la partie gauche vers la partie droite du domaine et conduit finalement à l'intervalle de confiance étroit dans la partie gauche et à l'intervalle de confiance large dans la partie droite du faisceau.

Avec le modèle basé sur la déviation statique, certains problèmes peuvent survenir avec le signe de la flexibilité, en raison du support du champ aléatoire gaussien \(C(t_j)\in \mathbb {R}\) dans la reconstruction. Ici, l'estimation viole la restriction physique de la flexibilité étant positive à certains endroits sur le côté droit du faisceau. La raison en est un mélange des caractéristiques du faisceau et du bruit de mesure supposé. La poutre en porte-à-faux présente un petit moment de flexion sur son côté droit, entraînant une petite courbure de ce côté. Pour simuler les mesures de déviation, nous ajoutons un bruit gaussien synthétique aux déviations. Dans les régions du côté droit avec une faible courbure de référence, la courbure du bruit est susceptible de dominer la courbure totale dans les mesures simulées. Comme le moment de flexion relie la flexibilité et la courbure, la reconstruction estime essentiellement la courbure de la poutre. Ceci explique pourquoi la composante de courbure résultant du bruit de mesure synthétique peut se propager à la flexibilité estimée et par conséquent conduire à des valeurs négatives pour la flexibilité dans certains cas.

Cette étude se concentre sur l'étude et la comparaison de deux méthodes non destructives pour l'identification des paramètres des matériaux. Pour étudier l'efficacité de la méthode dynamique et statique, nous démontrons la variation stratégique de la configuration du problème inverse. Plus précisément, nous nous attendons à ce que des longueurs de corrélation plus grandes de la flexibilité et des rapports signal sur bruit plus grands améliorent la qualité de l'inversion et nous avons effectivement obtenu les résultats attendus.

Comparaison des performances des méthodes influencées par l'évolution des configurations de problèmes inverses. Le graphique de gauche montre l'effet de la modification des rapports signal sur bruit, tandis que le graphique de droite montre l'impact de la longueur de corrélation de flexibilité.

L'effet du rapport signal sur bruit (SNR) sur la qualité de la solution est étudié avec une variation systématique de l'écart type du bruit, voir Fig. 6a. Pour obtenir des résultats représentatifs, la procédure décrite est effectuée pour 100 réalisations uniques de la flexibilité de référence par rapport signal sur bruit. L'erreur décrite dans l'Eq. (15) est ensuite moyenné sur les 100 réalisations. L'erreur diminue de manière non linéaire pour l'échelle SNR choisie. Des rapports signal sur bruit relativement faibles produisent un plateau dans l'erreur. Après un coude dans la courbe, un bruit de mesure plus élevé entraîne un comportement d'erreur d'aplatissement. Nous observons un RMSPE systématiquement inférieur lors de l'utilisation de l'approche utilisant des mesures de déviation statique et un ordre plus élevé de convergence d'erreur pour la méthode de fréquence de résonance. Notez que des mesures plus précises peuvent être obtenues en pratique en faisant la moyenne sur plusieurs séries de mesures répétées.

La variation de la longueur de corrélation de flexibilité illustrée à la figure 6b présente le résultat attendu. L'erreur diminue de manière non linéaire avec l'augmentation des longueurs de corrélation de la vérité terrain. L'écart d'erreur entre les méthodes statique et dynamique se rétrécit avec l'augmentation des longueurs de corrélation. Les erreurs relativement importantes dans le régime de faible longueur de corrélation résultent de la plus grande complexité de la fonction inconnue. Cela correspond à son tour à un espace de paramètres de plus en plus complexe que la procédure d'inférence doit traverser. Au contraire, une longueur de corrélation infiniment grande correspondrait à une flexibilité constante. Cela représente le cas le plus simple et nous nous attendons ici aux plus petites erreurs.

Concernant l'analyse statique, cette étude ne prend pas en compte l'incertitude sur la charge et son application sur l'éprouvette. Ces incertitudes se propagent à travers le système jusqu'aux déviations. De plus, la mesure des déviations est sujette à des erreurs de mesure. Les défis du bruit de mesure pour les applications à micro-échelle sont liés aux restrictions physiques de l'optique50. Les applications à macro-échelle comme celle étudiée dans cet article reposent d'une part sur des méthodes telles que la corrélation d'images numériques51. D'autre part, ils utilisent des systèmes de marqueurs optiques actifs ou passifs qui impliquent généralement des configurations de caméra52. Ici, un compromis doit être trouvé entre la zone couverte et la distance de la caméra, les deux étant couplées par l'angle de vue. Maletsky et al.53 rapportent une relation non linéaire entre la distance de la caméra et le SNR et trouvent un SNR global de 45 dB pour une configuration générique. En fait, des SNR supérieurs à 60 dB sont déjà réalisables pour les configurations de mesure de réponse dynamique54. Compte tenu de cette précision de mesure des méthodes dynamiques supérieure à celle des méthodes statiques8, un éclairage défavorable est jeté sur l'analyse modale.

Cette étude considère les analyses modales et statiques d'une poutre en porte-à-faux fixée de configuration identique et ne tient pas compte de l'incertitude dans les conditions aux limites. Cependant, une analyse modale expérimentale est généralement effectuée avec des conditions aux limites libres-libres qui sont plus précisément reproductibles dans la pratique que d'autres conditions de montage55. Ici, cet avantage de la méthode est échangé contre la comparabilité par rapport à l'analyse statique.

Debruyne et al.39 trouvent douteuse l'utilité de l'analyse modale expérimentale pour leur procédure de mise à jour de modèle, lorsque la qualité de la mesure n'est pas excellente. Leur conclusion est confirmée par nos résultats qui découlent d'un contexte avec des erreurs de modélisation connues de manière déterministe. Mehrez et al.38 déclarent que leur nombre de points de données s'avère adapté à la configuration de leur problème. Nos résultats complètent cela en établissant une relation entre le SNR et l'erreur, ce qui permet d'estimer le nombre requis de points de données pour obtenir une tolérance d'erreur compte tenu du SNR d'une seule mesure. Leur région de confiance représente \(\approx \!30 \%\) de la valeur moyenne. Notre méthode de fréquence de résonance correspond à cette précision d'estimation pour des rapports signal sur bruit élevés et des longueurs de corrélation de champ aléatoire proches ou supérieures à L. Cela est dû à l'algorithme d'échantillonnage indépendant du gradient utilisé dans cette étude d'une part et à la différence d'informations fournies à la méthode d'autre part, car des données locales plutôt que globales sont utilisées dans l'étude Mehrez et al.38.

Nous développons une nouvelle méthode de fréquence de résonance bayésienne avec une dimensionnalité stochastique réduite pour identifier la flexibilité structurelle variable dans l'espace d'une poutre en porte-à-faux. Il présente un avantage majeur par rapport aux méthodes non destructives existantes pour déterminer les propriétés locales des matériaux à l'échelle macro à l'aide de données dynamiques. Comme il ne s'appuie pas sur des informations locales comme le font les méthodes conventionnelles, il peut fonctionner sans visibilité directe sur l'échantillon. Ceci est particulièrement précieux dans le contexte de l'avènement des matériaux fonctionnellement gradués. Ce dernier favorise la variation spatiale des propriétés des matériaux dans des assemblages géométriquement complexes. Ici, notre méthode permet des tests non destructifs lorsque des contre-dépouilles sont présentes.

Nous obtenons des résultats pour les caractéristiques d'erreur non linéaires par rapport au SNR et à la longueur de corrélation de flexibilité. La prise en compte de l'influence du SNR met en évidence qu'une saturation de l'erreur se produit à de faibles rapports signal sur bruit. Ces résultats sont mis en relation avec ceux obtenus en appliquant la procédure bayésienne au porte-à-faux soumis à un chargement élastique linéaire statique.

En conclusion, en utilisant des caractéristiques de longueur de corrélation de bruit et de flexibilité identiques :

l'inversion basée sur les déviations statiques donne des erreurs absolues plus faibles.

l'intervalle de confiance s'élargit avec l'éloignement du serrage pour l'approche statique.

la hauteur de l'intervalle de confiance en utilisant l'approche dynamique reste constante le long du faisceau.

Nous concluons en outre que, généralement :

des longueurs de corrélation de flexibilité plus grandes conduisent à une reconstruction améliorée.

des rapports signal sur bruit plus élevés réduisent l'erreur d'estimation.

En pratique, le choix de la méthode doit soigneusement tenir compte de la reproductibilité des conditions aux limites réelles au sein des modèles numériques et en particulier des rapports signal sur bruit réalisables par les montages expérimentaux.

Actuellement, aucune donnée fiable décrivant le caractère aléatoire spatial des propriétés des matériaux n'est disponible, et les modèles de covariance Matern ou des cas particuliers comme les noyaux exponentiels isotropes sont utilisés comme solution de repli, voir 48. L'identification systématique de la covariance à partir de ces données pour les classes de matériaux courantes, les processus de fabrication connectés et les applications d'ingénierie qui introduisent l'hétérogénéité éliminerait le besoin de nombreuses hypothèses actuellement nécessaires. Les recherches futures doivent étudier l'influence de ces modèles de covariance identifiés et de leurs paramètres respectifs sur l'efficacité de notre méthode. Cela peut inclure la construction de noyaux de covariance composés à partir de noyaux de base, par exemple en utilisant l'addition ou la multiplication, voir Hofmann et al.56. Cette propriété pourrait être utilisée pour combiner des noyaux à travers des dimensions spatiales et modéliser, entre autres, des matériaux anisotropiquement hétérogènes.

Cet article montre la solution du problème inverse pour une seule quantité d'intérêt qui dépend d'une coordonnée spatiale. En pratique, plusieurs paramètres peuvent être pertinents. Dans le cadre de matériaux isotropes, le module de cisaillement ou coefficient de Poisson ainsi que la masse volumique peuvent être pertinents. Pour les matériaux anisotropes, les composantes spatiales des propriétés élastiques sont en outre nécessaires pour caractériser complètement le matériau. Cela complique le problème inverse. Cependant, la prise en compte d'informations supplémentaires promet d'atténuer ces effets. Pour certaines classes de matériaux, les composantes spatiales des propriétés élastiques sont linéairement corrélées. Spécifiquement pour le bois, le module de Young dans la direction de croissance d'un arbre est en corrélation linéaire avec le module de Young dans la direction radiale orthogonale aux anneaux de croissance. Souvent, le coefficient de Pearson pour la corrélation linéaire dépasse \(r=0,5\) ici. Des investigations préliminaires ont montré que l'incorporation de la connaissance de la corrélation croisée n'est pas uniformément bénéfique. À l'inverse, le succès de la méthode dépend de l'amplitude de la corrélation croisée et de l'algorithme utilisé pour échantillonner à partir de la distribution postérieure, entre autres. Les recherches futures doivent combler cette lacune dans la recherche et produire des résultats globaux qui servent de lignes directrices aux chercheurs.

Les données brutes générées au cours de la présente étude sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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TUM School of Engineering and Design, Department of Engineering Physics and Computation, Chair of Vibroacoustics of Vehicles and Machines, Technical University of Munich, 85748, Garching bei München, Allemagne

Karl-Alexander Hoppe, Martin GT Kronthaler, Kian Sepahvand & Steffen Marburg

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K.-AH : conceptualisation, méthodologie, logiciel, validation, analyse formelle, investigation, ressources, rédaction—ébauche originale, rédaction—revue et édition, visualisation, supervision, administration de projet. MGTK : méthodologie, logiciel, validation, analyse formelle, enquête, conservation des données, rédaction - ébauche originale, visualisation. KS : rédaction—révision et édition. SM : supervision, rédaction—révision et édition. Avant la soumission, tous les auteurs ont accepté le contenu et ont donné leur consentement explicite à soumettre, ils ont obtenu le consentement des autorités responsables de l'institution répertoriée sous les affiliations des auteurs.

Correspondance à Karl-Alexander Hoppe.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Hoppe, KA., Kronthaler, MGT, Sepahvand, K. et al. Identification de la rigidité spatialement incertaine d'une poutre en porte-à-faux. Sci Rep 13, 1169 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-27755-5

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Reçu : 04 octobre 2022

Accepté : 06 janvier 2023

Publié: 20 janvier 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-27755-5

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